2.2.3 课时2 直线的方向向量与法向量课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第2章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 1 2.2.3 直线的一般式方程 课时2 直线的方向向量与法向量 2 1.了解直线的方向向量与法向量.（数学抽象、直观想象） 2.会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程.（数学抽象、逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.什么是直线的方向向量？它与斜率 有什么关系？ [答案] 与直线 平行的非零向量 都称为 的方向向量；斜率为 的直线的方向向量为 的非零实数倍. 2.直线 的方向向量 唯一吗？为什么？ [答案] 直线 的方向向量 并不唯一，因为 的所有非零实数倍 都是方向向量. 3.直线的法向量与直线的方向向量有什么关系？直线的法向量是唯一的吗？ [答案] 直线的法向量与直线的方向向量垂直；直线的法向量不唯一. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）直线 的全体方向向量为 .( ) × （2）直线 的一个法向量为 .( ) √ 5 2.若直线过 ， 两点，则下列不是直线的方向向量的是( ). C A. B. C. D. [解析] 若直线过 ， 两点，则 ，则 不是直线的方向向量，故选C． 6 3.在平面直角坐标系中，直线 的倾斜角是 ，则直线 的全体方向向量为( ) （其中 ）. B A. B. C. D. [解析] 因为直线 的倾斜角是 ，所以该直线的斜率 ，所以直线 的全体方向向量为 ，故选B. 7 4.已知直线 的一个方向向量为 ，且过点 ，则直线 的点斜式方程为____ ____________. </m> [解析] 因为直线 的一个方向向量为 ，所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的点斜式方程为 . 8 探究1 直线的方向向量 问题1： 求直线 的全体方向向量. [答案] 由题意知，直线的斜率 ，所以直线 的全体方向向量为 （其中 ，且 ） 合作探究 9 问题2： 求直线 （ ， 不能同时为0）的全体方向向量. [答案] 直线上任意两点 ， 的坐标满足等式： ， ① . ② 由 得 . ③ 当 ， 两点不重合时， 代表了直线的全体方向向量，将③式 的左边写成数量积的形式，得 . ④ 由④可知， 与向量 垂直，因此这条直线与向量 垂直. 又向量 与向量 垂直，所以 是直线的一个方向向量，故直线的全 体方向向量为 ，其中 为任意非零实数. 10 新知生成 1.直线的方向向量 与直线 平行的非零向量 都称为 的方向向量，用它们来表示直线的方向. 直线 的方向向量 并不唯一， 的所有的非零实数倍 都是方向向量.反过来，所有 的方向向量都与 平行，因此它们相互平行，互为实数倍. 2.斜率为 的直线的方向向量 斜率为 的直线的方向向量为 的非零实数倍. 3.直线一般式的方向向量 直线 的全体方向向量为 ，其中 为任意非零实数. 11 新知运用 例1 （1）求直线 的全体方向向量. （2）已知直线 的一个方向向量为 ，且经过点 ，求直线 的方程. 12 [解析] （1）（法一）由直线 变形可得 ， 所以直线的斜率 ， 所以向量 为直线的一个方向向量， 故该直线的全体方向向量为 （ 为任意非零实数）. （法二）根据一般式的方向向量可得直线 的全体方向向量为 （ 为任意非零实数）. （2）由直线 的一个方向向量为 ，得直线 的斜率 ， 故直线 的方程为 ，即 . 13 &1& 求直线的方向向量可以化为点斜式，也可以根据一般式的直线的方向向量公式求解.此外，倾斜角为 的直线的一个方向向量为 .已知方向向量求直线方程，可根据方向向量与直线的关系，求出斜率，再根据条件写出直线方程. 14 写出直线 的一个方向向量 ______________________. <m></m> （答案不唯一） [解析] 由题意可知，直线 可以化为 ，所以直线的斜率为 ，故直线的一个方向向量可以为 . 15 探究2 直线的法向量 问题1： 求直线 的法向量. [答案] 若直线上任意两点 ， 的坐标满足 ，即 . 方向向量 ， 其中， 可以取任何非零实数. 因为 ，所以斜率为 的直线的一个法向量为 . 16 问题2： 类比直线 （ ， 不能同时为0）的方向