2.2.3 课时1 直线的一般式方程课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第2章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 1 2.2.3 直线的一般式方程 课时1 直线的一般式方程 2 1.掌握直线的一般式方程.（逻辑推理） 2.理解关于 ， 的二元一次方程 （ ， 不同时为0）都表示直线.（直观想象） 3.会进行直线方程的五种形式之间的相互转化.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.前两节我们学习了直线方程的四种形式，你能写出这四种形式吗？ [答案] ①点斜式方程为 ；②斜截式方程为 ；③两点式 方程为 或 ； ④截距式方程为 ． 自主预习 4 2.我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？ [答案] 区别：四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，方程的应用条件 不同，呈现的表达形式也不同. 联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代 数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横、纵坐标 ， 之间的关系， 且部分方程有限制条件． 3.上述四种方程在表示直线时有怎样的局限性？ [答案] 点斜式方程、斜截式方程不适用于斜率不存在的情况；两点式方程的分式形式不适用于与两坐标轴平行的情况；截距式方程不适用于直线过原点、直线与两坐标轴平行的情况． 5 4.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 ， 的二元一次方程表示吗？为 什么？ [答案] 都可以，原因如下：①当直线和 轴相交于点 时，倾斜角 ，直线的 斜率 存在，直线可表示成 ，可转化为 ，这是关于 ， 的二元一次方程． ②当直线和 轴平行（包含重合）时，倾斜角 ，直线的斜率 不存在，不能 用 表示，而只能表示成 ，它可以认为是关于 ， 的二元一次方 程，此时方程中 的系数为0． 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若方程 表示直线，则 .( ) × （2）若方程 表示直线，则 .( ) × （3）若方程 表示直线，则 .( ) √ 7 2.在平面直角坐标系中，直线 的倾斜角是( ). D A. B. C. D. [解析] 因为直线的斜率 ，所以直线的倾斜角为 ，故选D． 8 3.经过点 ，斜率为 的直线方程为( ). C A. B. C. D. [解析] 由题意得，经过点 ，斜率为 的直线方程为 ，即 ． 9 4.已知直线 的倾斜角为 ，在 轴上的截距为 ，则直线 的点斜式方程为_____ _____________；截距式方程为_ ___________；斜截式方程为____________；一般式方 程为________________． <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> [解析] 由题意可得，点斜式方程为 ，截距式方程为 ， 斜截式方程为 ，一般式方程为 ． 10 探究1 一般式方程 问题1： 观察下列直线方程： 直线 ；直线 ； 直线 ；直线 ． 上述形式的直线方程能化成二元一次方程 的形式吗？ [答案] 根据它们的方程，都能整理成二元一次方程的形式． 合作探究 11 问题2： 每一个关于 ， 的二元一次方程 （ ， 不同时为零） 都能表示一条直线吗？为什么？ [答案] 能表示一条直线，理由如下：当 时，方程 可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线； 当 时，方程 变成 ，即 ，它表示与 轴 平行或重合的一条直线． 12 问题3： 在方程 （ ， 不同时为零）中， ， ， 为何值时， 方程表示的直线：①平行于 轴？②平行于 轴？③与 轴重合？④与 轴重合？ [答案] 当 ， 时，方程变为 ，当 时，表示的直线平行于 轴，当 时，与 轴重合；当 ， 时，方程变为 ，当 时，表示的直线平行于 轴，当 时，与 轴重合． 13 问题4： 二元一次方程与直线的关系是什么？ [答案] ①二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线． ②二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线. 14 新知生成 直线的一般式方程 定义：关于 ， 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于 ， 的二元一次 方程 （其中 ， 不同时为0）叫作直线的一般