3.1 课时4 贝叶斯公式 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.1 课时4 贝叶斯公式 【学习目标】 1.了解贝叶斯公式.(数学抽象) 2.会用贝叶斯公式求相应事件的概率.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.如何求在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率? 【答案】　利用条件概率公式P(B|A)==. 2.公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的条件是什么? 【答案】　设Ai(i=1,2,… ,n )为 n个事件,Ω为样本空间,公式成立的条件如下: (1)Ai Aj=⌀(i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω, (3)P(Ai)> 0,i=1,2,…,n. 3.全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么? 【答案】　两者最大的不同是处理的对象不同,其中全概率公式用来计算复杂事件的概率,而贝叶斯公式用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率,也就是说,全概率公式是计算普通概率的,贝叶斯公式是用来计算条件概率的. 1.已知甲盒里有3个黄球,2 个蓝球;乙盒里有4个黄球,1 个蓝球.某人随机选择一个盒子并从中摸出了一个黄球,若此人选择甲盒或乙盒的概率相等,则这个黄球来自乙盒的概率为(　　). A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　记事件A表示“摸出黄球”,事件B表示“摸出的球来自乙盒”,则P(A)=, P(AB)=P(B)P(A|B)=×=,所以P(B|A)==×=. 2.某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.5,乘轮船迟到的概率为0.2,乘飞机不会迟到,则这个人迟到的概率是　　　　　　;如果这个人迟到了,他乘轮船迟到的概率是　　　　　　.  【答案】　　 【解析】　设事件A表示“乘火车”,事件B表示“乘轮船”,事件C表示“乘飞机”,事件D表示“迟到”,则P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4, 故P(D)=0.5,P(D)=0.2,P(D)=0, D=(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C), 由全概率公式,可得这个人迟到的概率P(D)=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18=, 如果这个人迟到了,由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率P(B)===. 3.在临床上,经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症,设事件A=“试验结果为阳性”,事件B=“试验者患有此癌症”,临床数据显示P(A|B)=0.99,P(|)=0.98.已知某地人群中患有此种癌症的占比为,现从该人群中随机抽取1人,其试验结果是阳性,则此人患有此种癌症的概率为　　　　.  【答案】　 【解析】　由题意可得,P(A|)=1-P(|)=0.02,P(B)=0.001,P()=0.999, ∴P(B|A)======. 【合作探究】 探究1　贝叶斯公式 　　如图,有三个外形相同的箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个黑球和3个白球,2号箱装有2个黑球和2个白球,3号箱装有3个黑球,这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱,再从取出的箱子中任意摸出一球,记事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱”,事件B表示“取得黑球”. 　　问题1:分别求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值. 【答案】　 由已知可得P(A1)=P(A2)=P(A3)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=1, ∴P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=×=, P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=×=, P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=×1=, ∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=++=. 问题2:若小明取出的球是黑球,问该黑球来自几号箱的概率最大?请说明理由. 【答案】　P(A1|B)===,P(A2|B)===,P(A3|B)===. ∴P(A3|B)最大,即若小明取出的球是黑球,该黑球来自3号箱的概率最大. 问题3:问题2的解题思想是什么? 【答案】　 执果索因. 问题4:如果把全概率公式看成是“由原因推结果”,那么贝叶斯公式所要研究的问题就是“已知结果求原因”,也就是说贝叶斯公式的思想是什么? 【答案】　 执果索因,即在观察到事件A已发生的条件下,寻求导致A发生的每个原因的概率. 新知生成 1.贝叶斯公式 公式P(B|A)=称为贝叶斯公式(又称逆概率公式). 2.贝叶斯公式的推广 设Ai(i=1,2,…,n )满足 (1)AiAj=⌀(i≠j); (2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对任一事件B(其中P(B)> 0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n). 新知运用 例1　在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发