3.1.5 贝叶斯公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案聚焦贝叶斯公式，通过回顾条件概率与全概率公式导入，构建从基础概念到逆概率问题解决的知识支架，帮助学生理解公式推导及应用脉络。 资料以古典概型为载体设计实际情境例题，搭配判断题、填空题及分层练习题，强化数学抽象与数学运算素养，习题贴近生活，培养用数学思维分析解决实际问题的能力。

数学　选择性必修·第二册（湘教） *3．1．5　贝叶斯公式 (教师独具内容) 课程标准：结合古典概型，会利用贝叶斯公式计算概率． 教学重点：贝叶斯公式． 教学难点：用贝叶斯公式解决实际问题． 核心素养：通过学习及运用贝叶斯公式提升数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　贝叶斯公式 P(B|A)＝． 贝叶斯公式又称逆概率公式． 知识点二　贝叶斯公式的推广 设A1，A2，…，An满足AiAj＝∅(i≠j)，且A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω．若P(Ai)>0(i＝1，2，…，n)，则对任一事件B(其中P(B)>0)，由条件概率及全概率公式，有P(Ai|B)＝＝(i＝1，2，…，n)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(A|B)＝．(　　) (2)贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率．(　　) 答案　(1)√　(2)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) 某同学喜爱篮球和跑步运动．在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为．若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为．已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为________． 答案　 题型　贝叶斯公式的应用 　某人下午5：00下班，他所积累的资料如下表所示： 到家时间 5：35～5：39 5：40～5：44 5：45～5：49 5：50～5：54 晚于5：54 乘地铁到 家的概率 0．10 0．25 0．45 0．15 0．05 乘汽车到 家的概率 0．30 0．35 0．20 0．10 0．05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率． [解]　以事件H表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”． 以事件T表示“到家时间在5：45～5：49之间”，因为到家时间为5：47，属于区间5：45～5：49，则所求概率为P(H|T)． 易知P(T|H)＝0．45，P(T|)＝0．20，因为他是由掷硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，所以P(H)＝P()＝0．5． 由贝叶斯公式得P(H|T)＝＝ ＝＝． 【感悟提升】 利用贝叶斯公式解题，即在观察到事件B已发生的条件下，计算导致事件A发生的每个原因Ai的概率． 【跟踪训练】　已知12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取的1件为次品的概率． 解　令事件A＝“先取的1件为次品”， 则P(A)＝，P()＝． 令事件B＝“后取的2件皆为正品”， 则P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝． 由贝叶斯公式得P(A|B)＝＝ ＝＝． 1．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0．9，用未校正过的枪射击，中靶率为0．4．若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为(　　) A．0．6 B．0．7 C．0．8 D．0．9 答案　C 解析　设A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0．9，P(|A)＝0．1，P(B|)＝0．4，P(|)＝0．6．由贝叶斯公式可得P(|) ＝＝＝0．8． 2．如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，则该球是取自1号箱的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设事件Bi表示“球取自i(i＝1，2，3)号箱”，事件A表示“取得红球”．由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝．因为P(B1|A)＝＝＝＝，所以该球是取自1号箱的概率为． 3．计算机中心有三台打字机A，B，C，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0．6，0．3，0．1，打字机发生故障的概率依次为0．01，0．05，0．04．已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，则该打字员使用A打字的概率为________． 答案　0．24 解析　设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M，“该打字员用A打字”为事件N1，“该打字员用B打字”为事件N2，“该打字员用C打字”为事件N3，则根据全概率公式有P(M)＝P(Ni)P(M|Ni)＝0．6×0．01＋0．3×0．05＋0．1×0．04＝0．025．根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A打字的概率为P(N1|M)＝＝＝0．24． 4．已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．现从这两盒中任取一盒，再从这盒中随机选取一球，该球是白球的概率是________；若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是________． 答案　　 解析　记事件A为“选出白球”，事件B1为“选出的球来自甲盒”，事件B2为“选出的球来自乙盒”，则根据全概率公式有P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝．根据贝叶斯公式，可得该球选自甲盒的概率是P(B1|A)＝＝＝． 5．设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂产品的次品率分别为2%，3%，5%．现从中任取一件， (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 解　设A表示“取到的是一件次品”，Bi表示“取到的产品是由编号为i(i＝1，2，3)的工厂生产的”，则有P(B1)＝0．45，P(B2)＝0．35，P(B3)＝0．2．P(A|B1)＝0．02，P(A|B2)＝0．03，P(A|B3)＝0．05． (1)由全概率公式得P(A)＝0．45×0．02＋0．35×0．03＋0．2×0．05＝0．0295． (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝． 所以发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大． 课后课时精练 一、选择题 1．假设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车中途停车修理的概率为0．01，现有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　) A．0．01 B．0．02 C．0．2 D．0．8 答案　D 解析　用A1表示“经过的是货车”，A2表示“经过的是客车”，B表示“中途停车修理”，则B＝A1B＋A2B．由题意可得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0．02，P(B|A2)＝0．01．由贝叶斯公式可得，P(A1|B)＝＝ ＝＝0．8．故选D． 2．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜选出正确答案的概率为．如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设事件A＝“考生答对”，事件B＝“考生知道正确答案”，由全概率公式，得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝．所以P(B|A)＝＝＝． 3．公司销售10台洗衣机，其中有3台次品．现已售出1台洗衣机，在余下的洗衣机中任取2台，发现均为正品，则原先售出的1台为次品的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设事件A为“售出的1台洗衣机为次品”，事件B为“余下的9台洗衣机中取出2台均为正品”．显然P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，由贝叶斯公式得P(A|B)＝＝＝．故选D． 4．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为(　　) A．0．085 B．0．226 C．0．625 D．0．815 答案　C 解析　以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，所以P(B)＝0．08，P(A1|B)＝＝＝＝0．625． 5．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0．5%，症状S在病人中占60%．则(　　) A．任意一位病人有症状S的概率为0．02 B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0．4 C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0．45 D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0．25 答案　ABC 解析　P(D1)＝0．02，P(D2)＝0．05，P(D3)＝0．005，P(S|D1)＝0．4，P(S|D2)＝0．18，P(S|D3)＝0．6，由全概率公式得P(S)＝P(Di)·P(S|Di)＝0．02×0．4＋0．05×0．18＋0．005×0．6＝0．02．由贝叶斯公式得，P(D1|S)＝＝＝0．4，P(D2|S)＝＝＝0．45，P(D3|S)＝＝＝0．15． 二、填空题 6．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“－”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 答案　 解析　设A＝收到“·”，B＝发出“·”，由贝叶斯公式得P(B|A)＝＝＝． 7．已知某地区所有男子中有5%的人患有色盲症，所有女子中有0．25%的人患有色盲症．现从该地区随机抽一人发现患色盲症，则其为男子的概率是______．(设男子和女子的人数相等) 答案　 解析　设A表示“抽到的人是男子”，B表示“抽到的人是女子”，C表示“抽到的人有色盲症”，则P(A)＝P(B)＝，P(C|A)＝0．05，P(C|B)＝0．0025，由贝叶斯公式知，P(A|C) ＝＝＝． 8．袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币的两面均为数字)，在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到数字，则这枚硬币是正品的概率为________． 答案　 解析　记T为“将硬币投掷r次每次都出现数字”，A为“所取到的是正品”，由题设得P(A)＝，P()＝，P(T|A)＝，P(T|)＝1．由贝叶斯公式可得 P(A|T)＝＝＝＝． 三、解答题 9．某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学共同在一个社区进行环保知识宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为7∶3．其中甲班中女生占，乙班中女生占．若该社区居民遇到一位进行环保知识宣传的同学是女生，求该女生来自甲班的概率． 解　用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生． 则根据题意，有P(A)＝＝，P()＝＝，P(B|A)＝，P(B|)＝． 由贝叶斯公式， 得P(A|B)＝＝ ＝＝． 故该女生来自甲班的概率为． 10．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品． (1)求取得的一个产品是次品的概率； (2)若已知取得一个产品是次品，求这个次品是乙厂生产的概率(精确到0．001)． 解　(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}． 三个厂的次品率分别为，，， ∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝． 12箱产品中，甲占，乙占，丙占， 由全概率公式得P(A)＝P(A|Bi)P(Bi)＝×＋×＋×≈0．083． (2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，由贝叶斯公式得P(B2|A)＝≈≈0．287． 1．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其产品的不良率分别占其生产量的2%，1．2%，1%，任取公司的一件产品，则其为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产的概率为________． 答案　　 解析　记事件A′1为“该产品是A1生产的”，事件A′2为“该产品是A2生产的”，事件A′3为“该产品是A3生产的”，事件B为“该产品为不良品”，则P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)·P(A)＋P(B|A)P(A)＝2%×＋1．2%×＋1%×＝．若此产品为不良品，则此产品由A1所生产的概率为P(A|B)＝＝＝＝． 2．同一种产品由甲、乙、丙三个工厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0．95，0．90，0．80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个工厂中哪个厂生产的可能性最大？ 解　设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”． 由已知得P(B1)＝0．2，P(B2)＝0．3，P(B3)＝0．5，P(A|B1)＝0．95，P(A|B2)＝0．9，P(A|B3)＝0．8． (1)由全概率公式得，P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0．2×0．95＋0．3×0．9＋0．5×0．8＝0．86． (2)由贝叶斯公式得， P(B1|A)＝＝≈0．2209， P(B2|A)＝＝≈0．3140， P(B3|A)＝＝≈0．4651， 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $