3.1 课时3 全概率公式 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.1 课时3 全概率公式 【学习目标】 1.理解全概率公式成立的条件.(数学抽象) 2.掌握全概率公式,用全概率公式求相应事件的概率.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.观察下面的韦恩图. (1)A∩B和A∪B分别等于什么?集合M可以表示为什么? 　(2)积事件MA, MB是否互斥?此时P(M)如何用P(MA),P(MB)表示? 　(3)根据乘法公式,P(M)还可以表示为什么? 2.设Ω是试验E的样本空间,A1,A2,…,An为样本空间的一组事件,则A1,A2,…,An样本空间的一个划分所满足的条件是什么? 3.全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的条件是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一组两两互斥的事件. (　　) (2)使用全概率公式的关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间. (　　) 2.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如该地区男性、女性各占一半,从中随机选一人,则此人恰是色盲的概率是 (　　). A.0.01245 B.0.05786 C.0.02865 D.0.03745 3.若一个盒子中有6个白球,4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,则第二次取到白球的概率为　　　　.  【合作探究】 探究1　全概率公式 问题1:如何理解全概率公式? 问题2:全概率公式体现了哪种数学思想? 问题3:独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形吗? 新知生成 1.若将样本空间Ω分为A,两部分,则事件B的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 2.全概率公式 若将样本空间Ω分为n部分,则可以推广得到以下结论: 设Ai(i=1,2,…,n )为 n个事件, 若满足(1)Ai Aj=⌀(i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n, 则对任一事件B,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)=P(Ai)P(B|Ai). 新知运用 一、两个事件的全概率问题 例1　在某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生人数占,乙班中女生人数占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 【方法总结】　　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 　　某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时等可能地随机选择一家餐厅用餐,如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 二、多个事件的全概率问题 例2　某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,且这四条流水线的产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,现从该厂的这种产品中任取一件,则抽到不合格品的概率是多少? 【方法总结】　　“化整为零”求多事件的全概率问题要点 如图所示,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中,若某一事件的概率难以求得,可将其转化为一系列条件下发生的概率的和. 　　有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的,其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品中正品率为90%,丙厂产品中正品率为85%.如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率. 探究2　全概率公式的综合应用 例3　“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”. (1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率; (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率. 【方法总结】　　全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.在具体问题中应用全概率公式,要明确为什么能用,什么情况下可以用,这里是用B1,B2,B3来分割样本空间. 设袋中有12个球,其