2.4 课时5 向量与距离 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4 课时5 向量与距离 【学习目标】 1.向量的投影长和点到线、点到面的距离之间的关系.(数学抽象) 2.把空间距离问题转化为平面问题,把立体几何问题转化为空间向量问题.(逻辑推理、数学运算) 3.用向量法求空间距离——点线(线线)距离、点面(面面)距离.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.平面α外一点A到平面α的距离,是点A与平面内一点B所成向量的长度吗? 2.几何度量中最基本的距离是什么? 3.归纳求点到面的距离的方法. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　　 ) (2)若平面α∥β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　　 ) 2.已知直线l的方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　 ). A.2 B. C. D. 3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,2),点A(3,0,2),B(5,1,3),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　 ). A.1 B.2 C.3 D.4 【合作探究】 探究1 点到直线的距离 如图,在空间中任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,回答下列问题. 问题1:向量a在向量b上的投影向量是什么? 问题2:设与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量等于什么? 问题3:在上图中,怎样求线段MM1的长度?长度的表达式是什么? 新知生成 如图,直线l的方向向量为v,点P为直线l外一点,过点P作直线l的垂线交l于点D,则||即为点P到直线l的距离. 设A为直线l上任意一点,则是在l上的投影向量,所以投影长 ||=||cos ∠PAD=||·=. 于是,点P到已知直线l的距离 d=||==. 新知运用 例1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.求点N到直线AB的距离. 方法指导　建立空间直角坐标系,利用空间向量求解点到直线的距离. 【方法总结】　　求空间一点P到直线l(P∉l)的距离的算法程序 若在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点C1到直线AE的距离是　　　　.  探究2 点到平面的距离 点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地,当点在平面内时,该点到平面的距离为0.如图,平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,回答下列问题. 问题1:点P到平面α的距离是哪一个线段的长度? 问题2:从向量投影的角度来看,点P到平面α的距离又是什么? 问题3:根据向量投影的定义,你能得出点P到平面α的距离的表达式吗? 新知生成 1.点到平面的距离 如图,在平面α内任取一点A,作向量,设n是平面α的法向量,则在法向量n上的投影长||=即为点P到平面α的距离d. 2.求空间一点P到平面α(P∉α)的距离的算法程序如图所示. 新知运用 例2　如图,正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)中,侧棱长AA1=2,底面边长AB=1,N是CC1的中点. (1)求证:平面ANB1⊥平面AA1B1B. (2)求三棱锥B1-ANB的高. 方法指导　(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明平面ANB1⊥平面AA1B1B;(2)求出平面ABN的法向量,利用向量法求出三棱锥B1-ANB的高. 【方法总结】　　用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量:求出相关向量的坐标(,平面α的法向量n). (4)求距离:d=. 提醒:用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,建立如图所示的空间直角坐标系,已知D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).若四边形AEC1F为平行四边形,则点C到平面AEC1F的距离为(　　). A. B.4 C. D. 探究3 两平行线间的距离 问题:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离? 新知生成 求两条平行线m,n间的距离的步骤: (1)确定直线m的方向向量v; (2)在直线m上任取一点A,直线n上任取一点P,并计算向量; (3)计算向量在方向向量v上的投影长; (4)点A到直线n的距离,即两平行线m,n之间的距离为. 新知运用 例3　如图,在长方体ABCD-A