2.4 课时4 向量与夹角 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4 课时4 向量与夹角 【学习目标】 1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面所成的角的定义.(直观想象) 2.能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.(数学运算) 3.理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系.(逻辑推理) 【自主预习】 1.如何求两向量a与b的夹角θ? 2.如何用向量方法解决两条异面直线之间的夹角问题? 3.如何求直线与平面所成的角? 4.求平面与平面所成的角有哪些方法? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (　　 ) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (　　 ) (3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. (　　 ) (4)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为45°. (　　 ) 2.已知直线l的一个方向向量为a=(1,1,0),平面α的一个法向量为u=(1,2,-2),则直线l与平面α所成角的余弦值为(　　 ). A. B.- C.± D. 3.(多选题)已知在二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,-,-,平面β的一个法向量为n2=0,,,则二面角α-l-β的大小可能为(　　). A.30° B.60° C.120° D.150° 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点. (1)求证:D1F⊥AE. (2)求直线EF和CB1所成角的大小. 【合作探究】 探究1 直线与直线的夹角 如图,这是一个正方体的平面展开图. 将该展开图还原成正方体,回答下列问题. 问题1:MN与EF是异面直线吗?若是,则求出它们的夹角;若不是,请说明理由. 问题2:根据立体几何知识,我们怎样求两条异面直线a,b的夹角?异面直线所成的角的取值范围是什么? 问题3:设直线a,b的夹角为θ,方向向量分别为a,b,那么夹角θ与方向向量的夹角<a,b>之间的关系是怎样的?对应的余弦值表达式是什么? 新知生成 如图,设两条异面直线a与b所成的角为θ0<θ≤,它们的方向向量分别是v1,v2,设v1与v2的夹角为φ. 　　　　①　　　　　　　　　　　 ② 根据异面直线所成角的定义,可知θ与φ的关系是θ= 对于上述两种情况,均有cos θ=|cos φ|=|cos􀎮v1,v2􀎯|=. 新知运用 例1　如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. 方法指导　建立空间直角坐标系,写出点A1,B,A,O1的坐标,求向量,的坐标,计算cos<,>的大小,并转化为A1B与AO1的夹角的余弦值. 【方法总结】　　1.几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角,再利用解三角形来求解,过程相当复杂;用向量法求异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需对相应向量进行运算即可. 2.由于两异面直线的夹角θ的取值范围是0,,而两向量的夹角α的取值范围是[0,π],故应有cos θ=|cos α|,求解时要特别注意. 如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值. 探究2 直线与平面所成的角 3D立体打印技术出现在20世纪90年代中期,它与普通打印工作原理基本相同. 打印机内装有液体或粉末等“打印材料”,与电脑连接后,通过电脑控制把“打印材料”一层层叠加起来,最终把计算机上的蓝图变成实物,这一打印技术称为3D立体打印技术.如图所示,这是3D打印的圆柱体. 问题1:将它抽象成如图所示的圆柱体,设AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,如何求直线BD与平面ACD所成角的大小? 问题2:用向量法如何求直线BD与平面ACD所成的角的大小? 问题3:直线和平面所成的角θ与直线方向向量u和平面法向量n所在直线的夹角有什么关系? 新知生成 1.直线与平面所成的角 如图,当直线l与平面α相交且不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,那么θ与φ有如下关系: θ= 　　①　　　　　　　　 ② 当l∥α或l⊂α时,θ=0,φ=;当l⊥α时,θ=,φ=0或π. 对于上述情况,均有sin θ=|cos φ|=|cos 􀎮v,n􀎯|=. 直线与平面所成的角等于