2024年中考九年级数学复习提升训练——二次函数与最值的过关卷

2024年中考九年级数学复习提升训练—— 二次函数与最值的过关卷 1．已知二次函数， (1)求证：不论m为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点； (2)若这个函数图象的对称轴为直线，求这个二次函数的最小值． 2．如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转（0＜＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题： （1）求证：△CGH∽△AGK； （2）连接HK，求证：KH∥EF； （3）设AK=x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值． 3．已知直线（）与抛物线相交于、两点（点在点的左侧）．    (1)不论取何值，直线必经过定点，直接写出点的坐标； (2)如图，已知、两点关于抛物线的对称轴对称． ①求证：直线必经过一定点； ②当时，的最大值与最小值的差为2，求的值． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且满足∠ADE＝∠B． (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)设BD＝x，CE＝y，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？ (3)当△ADE是等腰三角形时，求BD的长． 5．如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接，，过点作，交直线于点．点从点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)求面积的最大值． 6．已知二次函数的最小值为，且其图象过点． (1)求的值； (2)已知点． ①若直线与抛物线相交于两点，求的最大值； ②已知点是抛物线上异于其顶点的任意一点，过作垂直轴于，的中点为，请证明平分． 7．如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E． 初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC　　PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）． 再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？ 甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE； 乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE． 理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由． 拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F． （1）当＝时，如图3，直接写出的面积为　　； （2）直接写出面积S的取值范围． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x2＋bx＋c（b＞0）上，且A（1，－1）， （1）若b－c＝4，求b，c的值； （2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意的一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，－1），点A的对应点A1为 （1－m，2b－1）.当m≥－时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标. 9．如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且 ． （1）求，的值以及函数的解析式； （2）对于（1）中所求的函数，当时，求函数的最大值和最小值； （3）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，求证： 10．正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与，不重合），以为顶点在所在直线的上方作 （1）当经过点时， ①请直接填空：________（可能，不可能）过点：（图1仅供分析） ②如图2，在上截取，过点作垂直于直线，垂足为点，作于，求证：四边形为正方形； ③如图2，将②中的已知与结论互换，即在上取点（点在正方形外部），过点作垂直于直线，垂足为点，作于，若四边形为正方形，那么与是否相等？请说明理由； （2）当点在射线上且不过点时，设交边于，且．在上存在点，过点作垂直于直线，垂足为点，使得，连接，则当为何值时，四边形的面积最大？最大面积为多少？ 11．定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”． （1）如图1，中，，，点在上，于点，于点，连接，求证： 是“半高”三角形； （2）如图2，是“半高”三角形，且边上的高是“半高”，点在上，交于点，于点，于点． ①请探究，，之间的等量关系，并说明理由； ②若的面积等于16，求的最小值． 12．概念认识：城市的许多街道是相互垂直