2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.3 课时1 空间向量的分解与坐标表示 【学习目标】 1.了解空间向量基本定理及其意义.(数学抽象、直观想象) 2.理解共面向量与向量线性运算之间的关系.(逻辑推理) 3.理解空间向量的正交分解、坐标表示.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.平面中的两个非零向量在什么情况下平行呢?为什么平行向量也称为共线向量呢? 2.空间中任意两个向量总是共面的,但空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的,什么情况下三个空间向量共面呢? 3.平面内两个不共线向量e1,e2,若平面内任意一个向量p与e1,e2共面,则p,e1,e2这三个向量之间存在怎样的关系呢? 4.在三个向量a,b,c 中,某个向量为0,或者某两个向量平行,请问这三个向量是否共面? 5.类比平面向量基本定理,叙述空间向量基本定理. 6.如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)为空间直角坐标系内任意两点,那么的坐标如何表示呢? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.(　　) (2)若{a,b,c}为空间的一组基,则{-a,b,2c}也可构成空间的一组基. (　　) (3)若{a,b,c}不能构成空间的一组基,则a,b,c共面.(　　) 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以构成空间的一组基的是(　　). A.{,,} B.{,,} C.{,,} D.{,,} 3.在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为空间的一组基,则=　　　　.  【合作探究】 探究1 共面向量 问题1:空间中任意两个向量是共面向量,则空间中任意三个向量是否共面? 问题2:对于两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系?反之,当向量p与向量a,b是什么位置关系时,p=xa+yb? 问题3:对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间中一点P满足关系式=x+y+z,则点P在平面ABC内的充要条件是什么? 新知生成 1.共面向量 一般地,能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量基本定理 如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件是存在有序数组(x,y),使得p=xe1+ye2. 注意:在三个向量a,b,c 中,若某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面. 新知运用 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AA1的中点,O是面对角线BC1与B1C的交点.试判断向量与,是否共面. 【方法总结】　　利用共面向量基本定理判断三个向量是否共面的关键是熟记平面向量的共面定理,准确化简、运算. 如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量,,共面. 探究2 空间向量基本定理 问题1:空间中怎样的向量能构成基? 问题2:基与基向量的概念有什么不同? 问题3:为什么空间向量基本定理中x,y,z是唯一的? 问题4:构成基的三个向量中,可以有零向量吗? 问题5:如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系? 新知生成 1.空间向量基本定理 设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则 (1)空间中任意一个向量p都可以写成这三个向量的线性组合:p=xe1+ye2+ze3. (2)上述表达式中的系数x,y,z由p唯一决定,即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'. 2.基{e1,e2,e3}下的坐标 我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标. 新知运用 一、空间向量基的判断 例2　已知{e1,e2,e3}是空间的一组基,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一组基. 【方法总结】　　判断三个向量组成的向量组能否作为基,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以判断三个向量是否共面,可以假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. 二、用基表示向量 例3　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点. (1)分别用向量a,b,c表示,; (2)若=xa+y