2.2课时1空间向量的概念及线性运算 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.2 课时1 空间向量的概念及线性运算 【学习目标】 1.理解空间向量的有关概念.(数学抽象) 2.掌握空间向量的线性运算.(数学运算) 3.掌握共线向量定理及其应用.(数学运算、逻辑推理) 【自主预习】 1.回忆一下平面向量是怎么定义的? 2.回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题: (1)如图,该向量如何表示?其模如何表示? (2)零向量和单位向量如何定义? (3)平面中某两个长度一样但方向相反的向量是什么向量? (4)平面中某两个向量平行或重合,这两个向量称为什么向量? (5)方向相同且模相等的向量称为什么向量? 3.平面向量的运算律有哪些? 4.对任意两个平面向量a,b,如果a= b( ∈R),那么a与b有什么位置关系?反过来,当a,b有什么位置关系时,a= b( ∈R)? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. ( ) (2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. ( ) (3)空间向量的加减运算的结果不一定是向量. ( ) (4)共面向量一定平行. ( ) 2.下列说法中正确的是( ). A.任意两个空间向量都可以比较大小 B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行 C.若|a|=|b|,则a与b共线 D.空间向量的模可以比较大小 3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,以顶点为向量的起点或终点,且与向量的模相等的向量有( ). A.7个 B.3个 C.5个 D.6个 4.已知在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则=( ). A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 【合作探究】 探究1 空间向量的基本概念 已知一个正三角形钢板,三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示. 问题1:在物理学中,力是什么量?这三个力共面吗?这三个力在数学上叫什么? 问题2:你能否根据平面向量的定义,试着叙述一下空间向量的定义? 问题3:这两个定义有何区别?本质是否相同? 新知生成 1.空间向量 把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量,空间向量a的大小(或长度)称为向量a的模,记为|a|. 2.相等向量 从不同点出发的向量,只要它们的方向相同且长度相等,就称它们为相等向量. 3.相反向量 方向相反、长度相等的向量称为相反向量. 新知运用 例1 如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中. (1)试写出与相等的所有向量; (2)试写出的所有相反向量; (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模. 方法指导 (1)根据相等向量、相反向量的概念求解;(2)根据模的概念以及空间几何体的线面性质求解. 【方法总结】 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,模相等;两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等,方向相反. 如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接的所有向量中,与向量相等的向量有 ;与向量相反的向量有 .(要求写出所有适合条件的向量) 探究2 空间向量的加减法 如图,观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量,,. 问题1:三条棱所表示的向量的模相等吗?这三个向量是相等向量吗? 问题2:向量,,共面吗?++能进行运算吗?如何运算? 新知生成 1.空间向量的加减法 如图,对于空间中任意两个向量a,b,作=a,=b,=b,则a+b=,a-b=. 2.空间向量加法的运算律 (1)a+b=b+a(加法交换律). (2)(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律). 新知运用 例2 如图所示,已知长方体ABCD-A'B'C'D'.化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果. (1)-; (2)++; (3)用向量,,表示向量. 【方法总结】 空间向量加法、减法运算的两个技巧:(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. 1.化简(-)-(-)= . 2.如图,在四棱锥V-ABCD中,化简-++= . 探究3 向量与实数相乘 某人回家过年,在一个公交站牌A处下车,由西向东步行3站路程,到达另一个公交站牌B,换乘k路车,经过2站路程到达小区门口C,再乘电梯到24楼,即回到家P. 问题1:若由A B的每站路程都是向量a,则如何用向量a表示? 问题2:若由B C的每站路程都是向量b,则如何用向量b表示? 问题3:若每一层的位移用c表示,如何用a,b,c表示向量? 新知生成 1.空