2.1 空间直角坐标系 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.1 空间直角坐标系 【学习目标】 1.理解空间直角坐标系中点的坐标的概念.(数学抽象、直观想象) 2.建立空间直角坐标系表示空间中点的坐标.(直观想象) 3.会用公式求空间两点间的距离.(数学运算) 【自主预习】 如图,这是一个房间的示意图. 1.如何表示板凳和气球的位置? 2.类比平面直角坐标系中的两点间的距离公式,你能推出空间中两点间的距离公式吗? 3.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式. (　　) (2)空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式. (　　) (3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). (　　) (4)有序实数组(x,y,z)可以表示空间中的任何一个点. (　　) 2.下列点在x轴上的是(　　). A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001) C.(5,0,0) D.(0,0.01,0) 3.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　). A.y轴上 B.xOy平面上 C.xOz平面上 D.第一象限内 4.如图所示,在正四棱锥V-ABCD中,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如图所示的空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标. 【合作探究】 探究1 空间直角坐标系 小明放学后步行回家,路过田野,走到路边的一座废旧工厂时,在墙角处发现一只飞行的小蜜蜂,他拿出画本画出简图,如图所示. 问题1:墙角的三条交线两两垂直吗? 问题2:如何确定小蜜蜂在空间中的位置? 问题3:若小蜜蜂到平面AOC,平面AOB,平面BOC的距离分别为2,1,3,请建立适当的空间直角坐标系,写出小蜜蜂的坐标. 新知生成 1.空间直角坐标系 为了确定空间中的点的位置,我们可以在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的单位长度,分别建立坐标轴,依次称为x轴、y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz,如图. 在空间直角坐标系O-xyz中,由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面. 2.右手系 建立空间直角坐标系时,一般将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图). 3.点的坐标 有序实数组(x,y,z)称为点 P的坐标,记作 P(x,y,z),其中x称为点 P的横坐标,y称为点 P的纵坐标,z称为点 P的竖坐标. 4.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 原点的坐标为(0,0,0), x轴上的点的坐标为(x,0,0), y轴上的点的坐标为(0,y,0), z轴上的点的坐标为(0,0,z), xOy平面内的点的坐标为(x,y,0), yOz平面内的点的坐标为(0,y,z), xOz平面内的点的坐标为(x,0,z). 新知运用 例1　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BC1上,且BM=2MC1,N是线段D1M的中点,求点M,N的坐标. 方法指导　根据已知条件求出M,N在坐标面xDy的射影,然后根据坐标的定义写出坐标. 【方法总结】　　求空间直角坐标系中某点P的坐标的方法:先找到点P在xOy平面上的射影M,过点M向x轴作垂线, 确定垂足N.其中ON,NM,MP分别为点P的横、纵、竖坐标的绝对值,再按O→N→M→P确定相应坐标的符号,与坐标轴同向为正,反向为负,即可得到相应的点P的坐标. 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5,侧棱长为13,建立的空间直角坐标系如图所示,写出各顶点的坐标. 探究2 空间中点的对称问题 问题1:点A(-2,1)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标分别是什么? 问题2:类比问题1,点A(-2,1,3)关于x轴、y轴、z轴、原点对称的点的坐标分别是什么? 新知生成 空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论. 新知运用 例2　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)