2024年九年级中考数学高频考点专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合）

2024年中考数学高频考点专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合） 1．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜2．分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN是平行四边形，并求其周长的最大值； (3)抛物线y＝x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，得到新抛物线y1，点F为y1的对称轴上任意一点，若以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式 (2)①如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，B(2，0)，经过A、B、C三点的抛物线y＝x2﹣2x+k与y轴交于点A，与x轴的另一个交点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)⊙B是以点B为圆心，OB长为半径的圆，以点D为圆心的⊙D与直线BC相切，请你通过计算说明：⊙B与⊙D的位置关系； (3)在直线AD下方的抛物线上是否存在一点P，使四边形APDC的面积最大？若存在，请你求出点P的坐标和四边形APDC面积的最大值；若不存在，请你说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝． （1）请用a的代数式表示C点坐标． （2）连接AC，BC，若△ABC的面积为10，求该抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，点P是直线y＝x+2上一点（位于x轴下方），点Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，若以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，则直接写出k的值（不需要写出计算过程）． 5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为秒（）． （1）求直线BC的函数表达式． （2）①直接写出P、D两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）． ②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求的值． （3）试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 （1）求水池2面积的最大值； （2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围； 【数学抽象】 （3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标． 7．综合与探究： 如图1，的直角顶点在坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，抛物线经过点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）如图2，已知点是线段上的一个动点，过点作的垂线交抛物线于点（点在第一象限），设点的横坐标为． ①点的纵坐标用含的代数式表示为________； ②如图3，当直线经过点时，求点的坐标，判断四边形的形状并证明结论； ③在②的前提下，连接，点是坐标平面内的点，若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出点的坐标． 8．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边）． (1)的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上； ①如图（1），若点C的坐标是，点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标． ②如图（2），若点D在抛物线上，且的面积是12，求点E的坐标． (2)如图（3），F是原点O