*1.4 数学归纳法 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.4* 数学归纳法 1 1.了解数学归纳法的原理．（数学抽象、逻辑推理） 2.掌握数学归纳法的步骤．（逻辑推理） 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（逻辑推理） 学习目标 2 1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ [答案] 不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了． 自主预习 3 2.对于数列 ，已知 ， ，通过对 ,2,3,4前4项 的归纳，猜出其通项公式为 .而在教材第37页中，根据多米诺骨牌游戏的原理给 出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么？ [答案] ①验证当 时，猜想成立；②假设当 时，猜想成立，然后证明当 时，猜想也成立，从而证明原猜想正确. 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）与正整数 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) × （2）数学归纳法的第一步 的初始值一定为1.( ) × （3）用数学归纳法证明等式时，由 到 的推导过程中，等式的项数不 一定增加了一项.( ) √ 5 2.用数学归纳法证明：首项是 ，公差是 的等差数列的前 项和公式是 ，假设当 时，公式成立，则 ( ). C A. B. C. D. [解析] 假设当 时，公式成立，只需把公式中的 换成 ，即 . 6 3.用数学归纳法证明： ，假设当 时，不等式成立， 则当 时，应推证的目标不等式是_ __________________________________． <m></m> . 4.用数学归纳法证明等式“ ”，第一步验证当 时，左边应取的项是_____________． <m></m> [解析] 当 时，左边 . 7 探究1 用数学归纳法证明等式 问题： 在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ [答案] 使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 合作探究 8 新知生成 一般地,证明一个与正整数 有关的命题,可按下列步骤进行:（1）（归纳奠基）证 明当 取第一个值 时命题成立；（2）（归纳递推）以“当 时命题成立”为条件,推出“当 时命题也成立”.只要完成 这两个步骤,就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立.这种证明方法叫作数 学归纳法. 9 新知运用 例1 求证： . [解析] ①当 时，左边 ，右边 ，等式成立. ②假设当 时，等式成立，即 ， 当 时，左边 10 右边， 所以当 时，等式也成立. 综上所述，等式对任何 都成立. &1& 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清 取第一个值 时等式两端项的情况；二是弄清从 到 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明当 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 证明目标的表达式变形. 12 证明： ． 13 [解析] ①当 时，左边 ，右边 ，等式成立． ②假设当 时等式成立，即 ， 那么，当 时， ． 根据①和②，可知等式对任何 都成立． 14 探究2 用数学归纳法证明不等式 例2 已知正项数列 中， ， ，用数学归纳法证 明： ． 方法指导 直接利用数学归纳法的证明步骤，通过 验证不等式成立，假设当 时不等式成立，证明当 时不等式也成立即可． 15 [解析] ①当 时， ， ， 所以 时，不等式成立； ②假设当 时， 成立，则当 时， ， 所以当 时，不等式成立． 由①和②可知，不等式 成立． 16 &2& 用数学归纳法证明不等式的四个关键 （1）验证第一个 的值时，要注意 不一定为1，若 （ 为正整数），则 ． （2）证明不等式的第二步中，从 到 的推导过程中，一定要用到归纳假设，因为不运用归纳假设的证明不是数学归纳法． 17 （3）用数学归纳法证明与 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式， 按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 值开始都 成立的结论，用数学归纳