1.3.3 课时2 等比数列前n项和的性质及应用 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.3 等比数列 1 1.3.3 等比数列的前 <m></m> 项和 课时2 等比数列前 项和的性质及应用 2 1.熟练应用等比数列前 项和公式的性质解题.（逻辑推理、数学运算） 2.在具体的问题情境中，能发现数列的等比关系，并解决相应的问题.（逻辑推理、数学建模） 学习目标 3 1.若等比数列 的公比 不为1，其前 项和为 ，则 与 有什么关系？ [答案] . 2.当等比数列 的公比 时，若 是偶数，则 ， ， 是等 比数列吗？ [答案] 不是.如数列1， ，1， ， 是公比为 的等比数列， ，不是等比数列. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若等比数列 的公比为 ，则 的公比为 .( ) √ （2）若等比数列 的公比为 ，则 ， ， 的 公比也为 .( ) √ 5 2.在等比数列 中，若 ， ，则 ( ). A A.140 B.120 C.210 D.520 [解析] ， ，且 ， . 又 ， . 6 3.若数列 是等比数列，且其前 项和 ，则实数 ___. 1 [解析] ， ，即 . 7 探究1 等比数列前 项和的函数特征 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 . 问题： 当 时，从函数的角度分析 关于 的解析式对应的函数模型是什么？ [答案] 若 ，则 ，其中 . 故等比数列 关于 的解析式对应的函数模型是 ． 注意点：等比数列前 项和公式的结构特点是 的系数与常数项互为相反数. 合作探究 8 新知生成 若数列 的前 项和 ，则数列 是等比数列． 9 新知运用 例1 数列 的前 项和 .求 的通项公式，并判断 是否为等比数列. [解析] 当 时， ; 当 时， ,不适合上式. （法一）易知 ， ， ，显然 ， ， 不是等比数列，即 不是等比数列. （法二）当等比数列 的公比 时，其前 项和 满足的条件为 ，对比 可知， ，所以 不是等比数列. 10 （1）已知 ，可通过 求 的通项公式，注意 当 时， . （2）若数列 的前 项和 ，其中 ， 且 ，则数列 是等比数列. 11 若等比数列 的前 项和 ，则 ____. <m></m> [解析] ， ，即 . 12 探究2 等比数列连续 项和的性质 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 . 问题1： 你能否用等比数列 中的 ， 来表示 ？ [答案] （法一） . （法二） . 13 问题2： ， ， 具有什么特征？采用从特殊到一般的思想进行思 考分析. [答案] 当 时，例如 ，当 为偶数时， ， ， 都 等于零，不能构成等比数列． 当 时， ， ， ， 构成等比数列， 因为 ， ， 所以 ，所以 ， ， 构成等比数列． 14 新知生成 1.若 是公比为 的等比数列，则 . 2.若公比不为 的等比数列的前 项和为 ，则 ， ， ， 构成等比数列，且公比为____． <m></m> 15 新知运用 例2 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____． <m></m> 方法指导 根据等比数列前 项和的性质，利用等差中项的性质建立等式，令 ，即可求出 的值． [解析] 由等比数列的性质得 ， ， 仍成等比数列，于是 ，不妨令 ，则 ，代入解得 ，故 ． 16 处理与等比数列前 项和有关问题的常用方法 （1）充分利用 和 ， ， ， （ 为偶数 且 除外）仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算. （2）运用等比数列的前 项和公式，要注意公比 和 两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 17 在等比数列 中，若前10项的和 ，前20项的和 ，则前30项的 和 ____. 70 18 [解析] （法一）设数列 的首项为 ，公比为 ，则 两式相除得 ， , ， . （法二） ， ， 仍成等比数列，且 ， ， ， . 19 探究3 等比数列不连续 项和的性质 问题： 类比等差数列前 项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 20 [答案] 若等比数列 的项