1.3.3 课时1 等比数列的前n项和公式 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.3 等比数列 1 1.3.3 等比数列的前 <m></m> 项和 课时1 等比数列的前 项和公式 2 1.掌握等比数列的前 项和公式及公式的证明思路.（逻辑推理） 2.会用等比数列的前 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.（数学运算） 学习目标 3 1.如何计算公比为1的等比数列的前 项和 ？ [答案] 当 时， ， 故 . 2.当 时，如何计算等比数列的前 项和 ？ [答案] 利用公式 计算. 自主预习 4 3.当等比数列的公比为字母时，求 的前 项和要注意什么？ [答案] 若等比数列的公比为字母，应用公式求其前 项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）求等比数列 的前 项和时可直接套用公式 来求．( ) × （2）若首项为 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 项和为 .( ) √ 6 2.在等比数列 中，其前 项和为 ，若 ， ，则 ____. 16 [解析] ， . 7 3.在等比数列 中，已知 ， ， ，则 ___. 6 [解析] 由 ，得 .又 ，所 以 . 8 4.已知某厂去年的产值为 ，计划在5年内每年比上一年的产值增长 ，则从今年起 5年内，该厂的总产值为______________． <m></m> [解析] 因为去年的产值为 ，从今年起5年内各年的产值分别为 , , , , ，所以 . 9 探究1 等比数列的前 项和公式 问题1： 等比数列的前 项和公式的推导除了教材中用的方法，还有其他的方法吗？ [答案] 有.根据等比数列的定义，有 ， 所以 ， ， ， ，即 ， 所以 ，即 ，进而可求得 . 合作探究 10 问题2： 能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前 项和？ [答案] 能.将 ，代入 中，可得 . 11 新知生成 公比为 的等比数列 的前 项和公式 （1） 等比数列的前 项和可由首项、公比和项数唯一确定； （2） 等比数列的前 项和可由首项、公比和末项唯一确定. 12 新知运用 例1 求下列等比数列前8项的和. （1） ， ， ， ； [解析] 因为 ， ， 所以 . 13 （2） ， ， . [解析] 由 ， ，可得 , 又由 ，可得 ， 所以 . 14 例2 在等比数列 中， 为其前 项和， 为其公比. （1）若 ， ，求 ； [解析] 由题意知 解得 或 所以 或 . 15 （2）若 ， ，求 ； [解析] （法一）由题意知 解得 所以 . （法二）由 ，得 ，所以 . 又 ，所以 ，所以 . 16 （3）若 ， ， ，求 . [解析] 因为 ， ，所以 ， 是方程 的两根, 得 或 又 ，所以 或 . 17 1.在等比数列 的五个量 ， ， ， ， 中，已知其中的三个量， 通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应 用． 2.在解决与前 项和有关的问题时，首先要对公比 或 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 18 在等比数列 中， （1）若 ， ， ，求 和 ； [解析] 由 得 ，解得 ，又由 得 ，解得 . 19 （2）已知 ， ，求 . [解析] 若 ，则 ，不符合题意，所以 ，所以 ， ， 两式相除得 ，解得 或 ，所以 或 ， 所以 或 . 20 探究2 等比数列前 项和公式的实际应用 例3 小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款项全部付清.商场提出的付款方式：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款， ，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为 ，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少. 21 [解析] （法一）设小华每期付款为 元，第 个月末付款后的欠款本利为 元， 则 ， ， … ， 解得 . 故小华每期付款金额约为880.81元. 22 （法二）设小华每期付款为 元，到第 个月时已付款及利息为 元， 则 ， ， ， … 年底付清欠款， ， 即 , . 故小华每期付款金额约为880.81元. &2&