1.2.3 简单复合函数的求导学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.2 课时3 简单复合函数的求导 【学习目标】 1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算) 3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.(1)现有方法能求函数y=ln(2x-1)的导数吗?为什么? (2)函数y=ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗?它的结构特点是什么? (3)函数y=ln(2x-1)的导数是什么? 2.对于函数y=cos 2x,其导函数是y=-sin 2x吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)函数y=sin x是由函数y=sin u和函数u= x复合而成的. ( ) (2)若f(x)=ln(3x-1),则f'(x)=. ( ) (3)若f(x)=x2cos 2x,则f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. ( ) 2.函数y=(2x-1)n(n∈R)的复合过程正确的是( ). A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1 3.函数y=的导数是( ). A. B. C.- D.- 4.下列对函数的求导正确的是( ). A.若y=(1-2x)3,则y'=3(1-2x)2 B.若y=log2(2x+1),则y'= C.若y=cos ,则y'=sin D.若y=22x-1,则y'=22xln 2 【合作探究】 探究1 复合函数的概念 问题1:函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的? 问题2:如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的? 新知生成 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). 新知运用 例1 下列函数是怎样复合而成的? (1)y=; (2)y=cos 3x. 【方法总结】 若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数. 函数y=是怎样复合而成的? 探究2 复合函数的导数 问题1:如何求函数y=sin 2x的导数?试写出复合函数求导的过程. 问题2:利用复合函数的求导法则求函数的导数,需注意什么? 新知生成 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 新知运用 例2 求下列函数的导数. (1)y=(x-1)4;(2)y=; (3)y=sin2x+;(4)y=x. 【方法总结】 对于复合函数的求导,要注意分析函数的具体特征,灵活恰当地选择中间变量,中间变量的选择应是基本函数的结构,切不可机械照搬某种固定的模式,否则会使确定的复合关系不准确,不能有效地进行求导运算.注意:复合函数在求导时,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地求导.不要忘记中间变量对自变量的求导. 求下列函数的导数. (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos2x-; (3)y=ln(4x-1);(4)y=e2x. 探究3 复合函数求导法则的应用 例3 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( ). A. B.2 C.3 D.0 (2)若曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= . 【方法总结】 1.利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法,它适用于任何可导函数.求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是否为切点.求过点P与曲线相切的直线方程时,一般先设出切点坐标(x0,y0),写出切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),再代入点P的坐标,求出(x0,y0). 2.利用导数求参数问题,能比较全面地考查导数的应用,突出了导数的工具性作用. 若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,求a+b的最大值. 探究4 导函数的奇偶性及周期性 新知生成 1.可导的奇函数的导函数是偶函数. 2.可导的偶函数的导函数是奇函数. 3.可导的周期函数的导函数还是周期函数. 新知运用 例4 证明下面的命题. (1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f'(x)也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数. 【方法总结】 利用函数的性质和复合函数的求导法则证明. 1.证明:“可导函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))中心对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称”. 2.证明:“可导函数y=f(x)的图象关于直线