1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3 课时3 三次函数的性质：单调区间和极值 【学习目标】 1.会求三次函数的单调区间和极值.(数学运算) 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.根据三次函数的性质能否画出其图象草图? 2.在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗?在区间(a,b)上呢? 3.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　) (2)函数y=x3-6x的极大值为4. (　　) (3)函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为0. (　　) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　) 2.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=(　　). A.2 B.3 C.4 D.5 3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.  【合作探究】 探究1 三次函数的单调区间和极值 某数学兴趣小组对形如f(x)=x3-x2+2x+1的三次函数的性质进行研究. 问题1:求函数f(x)的单调区间、极大值. 问题2:求函数f(x)在区间(1,3)上的最小值. 新知生成 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则F'(x)=3ax2+2bx+c. 可能有以下三种情形: 情形1:函数F'(x)没有零点,F'(x)在(-∞,+∞)上不变号. 若a>0,则F'(x)恒为正,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 若a<0,则F'(x)恒为负,F(x)在(-∞,+∞)上单调递减. 情形2:函数F'(x)有一个零点x=ω. 根据二次函数的性质: 若a>0,则F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒为正,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 若a<0,则F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒为负,F(x)在(-∞,+∞)上单调递减. 情形3:函数F'(x)有两个零点x=u和x=v,设u<v. 根据二次函数的性质: 若a>0,则F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为正,在(u,v)上为负,对应地,F(x)在(-∞,u)上单调递增,在(u,v)上单调递减,在(v,+∞)上单调递增. 可见F(x)在x=u处取得极大值,在x=v处取得极小值. 若a<0,则F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为负,在(u,v)上为正,对应地,F(x)在(-∞,u)上单调递减,在(u,v)上单调递增,在(v,+∞)上单调递减. 可见F(x)在x=u处取得极小值,在x=v处取得极大值. 新知运用 例1　已知函数f(x)=-ax3+x2+1. (1)当a=1时,求f(x)的极值; (2)讨论f(x)的单调性. 【方法总结】　　求三次函数的单调区间与极值的问题,求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的问题去解决. 已知函数f(x)=-x3+3x+a,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)的极值. 探究2 三次函数的最值问题 例2　已知函数f(x)=-x3+ax2+bx,当x=-1时取得极小值,当x=时取得极大值. (1)求曲线y=f(x)在x=-2处的切线方程; (2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值. 【方法总结】　　求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上最值的一般步骤: (1)求f'(x); (2)求方程 f'(x)=0的根x1,x2,…(不在定义域内的要舍去); (3)求f(x1),f(x2),…及f(a),f(b); (4)比较上述函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值. 注意:求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较. 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 探究3 由函数的最值求参数问题 例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 【方法总结】　　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.结合已知求出参数,进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内. 已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-2a+b,求a,b的值. 【随堂检测】 1.f(