1.2.3 课时2 等差数列前n项和公式的应用 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.2 等差数列 1 1.2.3 等差数列的前 <m></m> 项和 课时2 等差数列前 项和公式的应用 2 1.能够利用等差数列前 项和的函数性质求其前 项和的最值.（数学抽象、逻辑推理、数学运算） 2.理解并应用等差数列前 项和的性质．（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.在等差数列 中，当 ， 或 ， 时， 能否取得最值？ [答案] 当 ， 时， 的最小值为 ，无最大值；当 ， 时， 的最大值为 ，无最小值. 自主预习 4 2.若数列 的通项公式为 ，则当 为何值时 取得最小值？ [答案] ， ， 为递增数列. 令 ，解得 , ， ， 最小， 当 时， 取得最小值. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若等差数列 的前 项和 ，则其最大值或最小值一定 在 时取得.( ) × （2）若等差数列 的公差 ，则 的前 项和一定有最小值.( ) √ （3）设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 在 处取得最大值或最小值.( ) × （4）若两个等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，则一定有 .( ) × 6 2.（多选题）已知等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，则下列 结论正确的是( ). ABD A. B. C.当 时， 最小 D.当 时， 的最小值为8 7 [解析] 设等差数列 的公差为 . 因为 ，所以 ，解得 . 又由等差数列 是递增数列，可知 ，所以 ，故A，B正确. 因为 ， 所以由 ,可知当 或 时, 最小，故C错误. 令 ，解得 （舍去）或 ，即当 时, 的最小 值为8，故D正确． 故选 . 8 3.若等差数列 的前 项和 ，则 的最小值为____. <m></m> [解析] 由 ，可知当 或 时， 的最小值为 . 9 4.已知数列 的通项公式为 ，则该数列前________项的和最大． 10或11 [解析] 令 得 ， 即 ， . ， 该数列前10项均为正数，第11项为0. 该数列前10或11项的和最大． 10 探究1 等差数列前 项和的最值 例1 在等差数列 中， ， ，求前 项和 的最大值. [解析] （法一）设等差数列 的公差为 ， 因为 ， ， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 合作探究 11 所以当 时， 有最大值，最大值为169. （法二）同方法一，求出公差 ， 所以 . 因为 ， 所以 解得 . 又因为 ， 所以当 时， 有最大值，最大值为 . （法三）因为 ， 所以 , 由等差数列的性质得 ，即 ,解得 , 所以 ， ， 所以当 时， 有最大值，最大值为 . （法四）设 . 因为 ， ， 所以二次函数图象的对称轴为直线 ，且图象开口向下， 所以当 时， 取得最大值. 由题意得 解得 所以 ， 所以 ，即 的最大值为169. 1.将 配方,转化为求二次函数的最值 问题，借助函数的单调性来解决． 2.邻项变号法 当 ， 时，满足 的项数 使 取最大值． 当 ， 时，满足 的项数 使 取最小值． 15 已知等差数列 的前 项和为 , , ，则当 取得最大值 时 的值为( ). D A.5 B.6 C.7 D.8 16 [解析] 由题意，等差数列 的前 项和为 , , ， 根据等差数列的性质与等差数列的前 项和公式， 可得 , , 解得 , , 则 ， 可求得等差数列 的通项公式为 ， 令 ，即 ，解得 . 又由 ，可得在等差数列 中，当 , 时, ；当 , 时, , 所以当 取得最大值时 的值为8，故选D． 探究2 等差数列前 项和的性质 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 . 问题1： ， ， 具有什么特征？采用从特殊到一般的思想进行 思考分析. 18 [答案]