专题11.10 用反比例函数解决问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.10 用反比例函数解决问题（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【知识点二】反比例函数在其他学科中的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【考点目录】 【考点1】反比例函数在生产生活中的应用； 【考点2】反比例函数在几何中的应用； 【考点3】反比例函数在物理学科的应用； 【考点4】反比例函数的其他应用； 【考点5】反比例函数与一次函数综合应用； 【考点1】反比例函数在生产生活中的应用； 【例1】制作一种工艺品时，需先将材料加热到，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示． （1）求工艺品制作过程中y与x的函数关系式； （2）若此工艺品在制作过程中温度不能低于，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？ 【答案】（1）（），（）；（2）14分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． （1）根据待定系数法分别求出两个函数解析式即可； （2）将代入反比例函数解析式，求出，即可． （1）解：设一次函数的解析式为， 点，在一次函数图象上， ， ， 一次函数解析式为：， 设反比例函数解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2）当时，， （分钟） 答：加热一次后最多14分钟后就得停止工艺品的制作． 【变式1】某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间x（）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图像的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可． 解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A正确，不符合题意； B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B正确，不符合题意； C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或，解得或， 由于，选项C错误，符合题意； D、当时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D正确，不符合题意； 故选C． 【变式2】某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟． 【答案】12 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，先用待定系数法求出药物燃烧时，以及药物燃尽后与的关系式，再求出每立方米空气中含药量达到的时间，以及每立方米空气中含药量降到的时间，即可求解． 解：设药物燃烧时与的关系式为， 将代入，得，解得， 药物燃烧时与的关系式为， 令，得， 即4分钟后每立方米空气中含药量达到； 设药物燃尽后与的关系式为， 将代入，得，解得， 令，得， 即16分钟后每立方米空气中含药量降到； ， 此次灭蚊的有效时间为， 故答案为：12． 【考点2】反比例函数在几何中的应用； 【例2】