专题12.4 二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.4 二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即·=（a≥0，b≥0） 特别提醒 1. a·c=ab（b≥0，d≥0）； 2.··=（a≥0，b≥0，c≥0）； 【知识点二】二次根式的除法 二次根式的除法法则是（a≥0，b＞0） 特别提醒 1. 只有当a≥0，b≥时，·==·才成立 只有当a≥0，b＞0时， =、·才成立 2. 格法则中a、b既可以是数，也可以是代数式. 3. 如果被开方数是带分数，应先将带分数化为假分数，再化简 4. 最后结果中被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母. 【知识点三】积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的乘积，即=·（a≥0，b≥0） 特别解读 积的算术平方根可以推广，即·······（a，b，······c都是非负数）. 【知识点四】商的算术平方根 商的算数平方根等于被除式的算数平方根，即=（a≥0，b＞0） 特别解读 （a≥0，b＞0，n≠0） 【知识点五】最简二次根式 定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2，都是最简二次根式. 特别解读 二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或整式. 【知识点六】二次根式化简方法 把二次根式化简为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简. 1.二次根式化简得结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方. 2.如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把二次根式写成分式或分数的形式；或先将字母化为完全平方式或完全平方数，再利用商的算术平方根的性质化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将他分解，然后把开方开得尽的因式或因数分开，从而将式子化简. 【知识点七】因式外移和内移方法 1.因式的内移：若根号外的因式是负的，内移后，要将负号留在根号外. 2.因式的外移：若被开方数中字母的取值范围未指明，则要进行讨论. 【知识点八】二次根式乘除运算方法 二次根式运算时要明确算术符号和运算顺序.若被开方数是带分数，则要先将其化为假分数. 【考点目录】 【考点1】最简二次根式的判断； 【考点2】化简为最简二次根式； 【考点3】由最简二次根式➼求参数； 【考点4】二次根式乘法运算； 【考点5】二次根式除法运算； 【考点6】二次根式乘除混合运算. 【考点1】最简二次根式的判断； 【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． （1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点拨】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义：分母中不含根号，根号中不含分母，被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键． 解：A、为最简二次根式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2020上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 解：，因此不是最简二次根式； 由于时，所以是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 【点拨】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 【考点2】化简为最简二次根式； 【例2】（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可． 解：（1）； （2） ； （3）． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【变式1】（19-20八年级下·江苏徐州·期末）与根式的值相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可. 解：由题意可得x是负数， 所以=， 故选