专题11.14 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.14 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别提醒：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 【知识点二】反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 【知识点三】反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 特别提醒： 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【知识点四】应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【考点目录】 【考点1】确定反比例函数解析式； 【考点2】反比例函数的图象及性质； 【考点3】反比例函数与一次函数综合； 【考点4】反比例函数与几何综合； 【考点5】反比例函数的实际应用； 【考点1】确定反比例函数解析式； 【例1】如图，已知正比例函数图像经过点和点． （1）求正比例函数的解析式及m的值； （2）过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）正比例函数解析式为，；（2） 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． （1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式1】在直角坐标系中，将双曲线绕着坐标原点旋转90°后，所得到的双曲线的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 分析：设点（x，y）是双曲线y= 上的点，根据旋转的性质，点（x，y）变为（-x，y），据此求得旋转后双曲线的解析式． 解：设点（x，y）是双曲线y=上的点， ∵双曲线y=绕着坐标原点旋转90°， ∴点（x，y）变为（-x，y）， 把（-x，y）代入原解析式， 得y=- 故选C． 【点拨】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出双曲线点的坐标与旋转后点坐标的关系，本题比较简单． 【变式2】如图，正比例函数＝与反比例函数＝的图像有一个交点（，3），⊥轴于点，平移直线＝，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数解析式是 . 【答案】 【分析】利用反比例函数把A的坐标求出，同时通过A点得到B点的坐标，然后代入正比例函数，解出正比例函数解