精品解析：江苏省无锡市祝塘第二中学2022-2023学年八年级数学下学期竞赛试卷

初二数学下学期竞赛试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 下列事件：①从装满红球的袋子中取出黄球；②367人中至少有2人的生日相同；③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，其中是确定事件的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 2. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边相等，一组对角相等 C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 3. 下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 不变 5. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，则实数m的取值范围是（ ） A. m>2 B. m<2 C. 0<m<2 D. m<0或m>2 6. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 7. 如图，直角梯形中，，，，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，则的面积是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 9. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 平行四边形中，，，的平分线交于，则_____． 12. 将反比例函数的图象向右平移两个单位，得到新函数的图象与轴交于点，则点的坐标是_____． 13. 一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是_____． 14. 为了解我校八年级学生的线上学习质量，从八年级的16个班共720名学生中，每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为______． 15. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为______． 16. 如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________． 17. 如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 18. 在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共56分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中a的值是方程a2﹣2a＝0的解． 20. 已知、是反比例函数的图象上的点． （1）求的值； （2）求证：． 21. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 22. 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克． （1）求第一次购进该水果的进价？ （2）已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 23. 如图①，已知四边形 的对角线，相交于点O，点M是边的中点，过点M作交于点E，作交于点F （1）若四边形是菱形，如图②，求证：四边形是矩形 （2）若四边形是矩形，如图③，则四边形是　　　　(在横线上填一个特殊平行四边形的名称) （3）若四边形是矩形，如图④，点M是延长线上的一个动点，点F落在的延长线上，点E落在线段上，其余条件不变，写出，，三条线段之间存在的数量关系，并说明理由 24. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B． ． （1）填空：_____，____； （2）过点B作轴交反比例函数的图象于点C，试求直线解析式的表达式； （3）观察图象，直接写出当时，不等式组的解集． 25. 如图1，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，直线y = -x + 3经过顶点 B，与y轴交于顶点C，AB // OC. (1)求顶点B的坐标. (2)如 图2，直线 L 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O′为点 O 关于直线L的对称点,联 结 CO′，并延长交直线AB于第一象限的点 D，当CD=5 时，求直线 L的解析式； (3)在(2)条件下，点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能,请直接写出点P坐标；若不能，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学下学期竞赛试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 下列事件：①从装满红球的袋子中取出黄球；②367人中至少有2人的生日相同；③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，其中是确定事件的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】确定事件包含必然事件和不可能事件，指一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可求解。 【详解】解：∵①从装满红球的袋子中取出黄球，一定不会发生，属于不可能事件，是确定事件； ②一年最多有366天，367人中一定至少有2人的生日相同，一定发生，属于必然事件，是确定事件； ③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，是不确定事件； 综上，是确定事件的为①②． 2. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边相等，一组对角相等 C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形可判定A；一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定B；一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，可判定C；一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定D． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形．故此选项不符合题意； B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意； C、一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，故此选项符合题意； D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 4. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 5. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，则实数m的取值范围是（ ） A. m>2 B. m<2 C. 0<m<2 D. m<0或m>2 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性即可得出取值范围． 【详解】解：∵ ∴， ∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，而且在第三象限内点的函数值小于第一象限点的函数值， 又∵、，， ∴0<m<2， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握是解题关键． 6. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 7. 如图，直角梯形中，，，，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点G，作交的延长线于点F，可证明四边形是矩形，得，，则，，由旋转得，，即可证明，得，即可求得． 【详解】解：作于点G，作交的延长线于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故③错误； ∵， ∴， 延长交的延长线于，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边的中线， ∴．故④正确； 故选：C． 9. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．证明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，结合∠EAB＝∠EAF可得结果． ②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论． ③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可． ④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABC都是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°， 由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF， ∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x， ∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正确， 在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2， ∴（4＋x）2＝82＋（12−x）2， ∴x＝6， ∵CD＝BC＝BE＋EC＝12， ∴DG＝CG＝6， ∴FG＝GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF＝GD＝GC， ∴∠DFC＝90°， ∴CF⊥DF， ∵AD＝AF，GD＝GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2， ∴FG：EG＝3：5， ∴S△GFC＝×24＝，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10. 如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】以为边作等边，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证明，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点H作于N，于M， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 平行四边形中，，，的平分线交于，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形分别计算，只要证明，，即可推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵的平分线交于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 如图， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上：长为或． 12. 将反比例函数的图象向右平移两个单位，得到新函数的图象与轴交于点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律得到新函数的解析式，然后令x=0，求得y的值即可求得P的坐标． 【详解】解：将反比例函数y=-的图象向右平移两个单位，得到y=-， 当x=0时，y=1， ∴P(0,1)， 故答案为：(0,1)． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 13. 一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，先求得直线与x轴的交点，然后两函数解析式联立成方程组，解方程组求得两函数的图象的交点，结合图象即可求得． 【详解】解：∵一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=图象交于点(1,4)， ∴4=-1+b，4=， ∴b=5，k=4， ∴一次函数为y1=-x+5，反比例函数为y2=， 把y=0代入y1=-x+5得，x=5， ∴一次函数y1=-x+5的图象交x轴于点(5,0)， 联立，解得：或， ∴一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=图象交于点(1,4)和(4,1)，如图， 观察图象，当y1＞y2＞0时，x的取值范围是1＜x＜4． 故答案为：1＜x＜4． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据图象写出答案，考查了数形结合思想． 14. 为了解我校八年级学生的线上学习质量，从八年级的16个班共720名学生中，每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本容量的定义即可得出答案．样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 【详解】解：为了解我校八年级学生的线上学习质量，从八年级的16个班共720名学生中，每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的知识，注意：样本容量只是个数字，没有单位．解答本题的关键是分清具体问题中的总体、个体、样本与样本容量的意义． 15. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据解为正数，求出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数 ∴， 解得， 又∵当时，该分式方程的左边两项分母为0，∴， 故答案为：且 【点睛】本题考查根据分式方程根的情况求参数，注意分式方程的分母不能为0０ 16. 如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为的中位线，求出，，的长度即可求得点B与点的距离． 【详解】∵，，， ∴ 如图，当点在右侧时，连接， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∵为的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， 则：； 如图，当点在左侧时，连接， 同理可得：，，， 则：； 综上，点B与点的距离为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出 为的中位线是解决问题的关键． 17. 如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 18. 在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，连接，取的中点F，连接，先证明，得，根据三角形的中位线定理可得，，由平行线的性质和三角形的内角和定理可得，所以是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵M是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理得，，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识的综合运用，解题的关键是证明△FMN是等边三角形． 三、解答题（本大题共7小题，共56分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中a的值是方程a2﹣2a＝0的解． 【答案】a﹣1，-1． 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2﹣2a＝0求出a的值，再选取使得原分式有意义的a的值代入即可解答本题． 【详解】解： ＝a-1， 由a2﹣2a＝0，得a1＝0，a2＝2， ∵a﹣2≠0，a﹣1≠0，得a≠2，a≠1， ∴当a＝0时，原式＝0﹣1＝﹣1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 已知、是反比例函数的图象上的点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式中可得的值； （2）由点是反比例函数的图象上的点得出，进而整理得到，即可证得． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵点在该反比例函数图象上， ∴． ∵， ∴， ∴． ，即． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，得到是解题关键． 21. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠BAE=∠DCF， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）四边形BEDF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴OB=OD， ∵DG=BG， ∴EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形． 【详解】略． 22. 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克． （1）求第一次购进该水果的进价？ （2）已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【答案】（1）元； （2）总体上是盈利，盈利元． 【解析】 【分析】（1）根据用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克列等量关系即可解答； （2）根据利润等于售价减去进价即可解答． 【小问1详解】 解：设第一次购进的单价为元，则第二次购进的单价为， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：第一次购进的单价为元； 【小问2详解】 解：第一次购进的数量为（千克）， 第二次购进的数量为（千克）， （元）， 答：总体上是盈利，盈利元． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键． 23. 如图①，已知四边形 的对角线，相交于点O，点M是边的中点，过点M作交于点E，作交于点F （1）若四边形是菱形，如图②，求证：四边形是矩形 （2）若四边形是矩形，如图③，则四边形是　　　　(在横线上填一个特殊平行四边形的名称) （3）若四边形是矩形，如图④，点M是延长线上的一个动点，点F落在的延长线上，点E落在线段上，其余条件不变，写出，，三条线段之间存在的数量关系，并说明理由 【答案】（1）见详解； （2）菱形； （3），理由见详解； 【解析】 【分析】（1）根据菱形对角线互相垂直即可得到，结合，，即可得到证明； （2）根据四边形是矩形得到，结合点M是边的中点，即可得到证明； （3）根据，可得四边形是平行四边形及，即可得到，根据四边形是矩形得到，得到，即可得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M是边的中点，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故答案为菱形； 【小问3详解】 解：，理由如下， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查矩形形的判定与性质，菱形判定与性质，等腰三角形判定与性质，解题的关键是证明通过转换得到答案． 24. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B． ． （1）填空：_____，____； （2）过点B作轴交反比例函数的图象于点C，试求直线解析式的表达式； （3）观察图象，直接写出当时，不等式组的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点分别代入一次函数，反比例函数求解即可； （2）先确定点，点，设的表达式为， 确定，继而得到； （3）根据，，利用交点的横坐标，结合函数的图象，写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数（）的图象交于点， 故， 解得； 【小问2详解】 解：，， ，， 当时，得， 解得， 故， 当时，， 故， 设的表达式为， 根据题意，得， 解得， 所以 【小问3详解】 解：因为点，点， 故不等式组的解集为． 25. 如图1，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，直线y = -x + 3经过顶点 B，与y轴交于顶点C，AB // OC. (1)求顶点B的坐标. (2)如 图2，直线 L 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O′为点 O 关于直线L的对称点,联 结 CO′，并延长交直线AB于第一象限的点 D，当CD=5 时，求直线 L的解析式； (3)在(2)条件下，点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能,请直接写出点P坐标；若不能，说明理由. 【答案】（1）B(4,2)；（2）；（3）P点坐标为（2,2）或（5,）或（-2,4）. 【解析】 【分析】（1）根据题意设点B的坐标为(4,y)，将x=4代入直线解析式即可求出B点纵坐标，从而得到B点坐标； （2）过C点作CN⊥AB于N，由平行线和对称的性质可推出∠DCM=∠DMC，进而得到CD=MD=5，利用勾股定理求出DN，得到NM=2，易得AM=1，从而得到M点坐标，利用待定系数法即可求出直线L的解析式； （3）连接OD，先求出OD直线解析式，根据点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，可设P点坐标为（），Q点坐标为（），在分类讨论，利用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可建立方程求解. 【详解】解：(1)∵A(4,0)，AB∥OC， ∴设点B的坐标为(4,y) 把x=4代入中，得y=2， ∴B(4,2)； (2)如图，过C点作CN⊥AB于N, ∵AB∥OC， ∴∠OCM=∠DMC， ∵点 O′为点 O 关于直线L的对称点 ∴∠DCM=∠OCM， ∴∠DCM=∠DMC ∴CD=MD=5， ∵，当x=0时y=3， ∴OC=3， ∵CN=OA=4， ∴DN=， ∴NM=5−3=2， ∴AM=AN-NM=3-2=1 ∴M(4,1)， 设直线L解析式y=kx+b把C(0,3)，M(4,1)代入得： ，解得， ∴直线L的解析式为：. （3）如图，连接OD， ∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A点坐标为（4,0） ∴D点坐标为（4,6） 设OD直线解析式为，将（4,6）代入可得，解得 ∴直线OD解析式为， ∵点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动 ∴设P点坐标为（），Q点坐标为（）， 分情况讨论： 如图1所示，当BC、PQ为对角线时，由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得： ，解得， 当时， ∴P点坐标为（2,2）； 如图2所示，当BQ、PC为对角线时，同理可得： ，解得， 当时， ∴P点坐标为（5,）； 如图3所示，当BP、CQ为对角线时，同理可得： ，解得， 当时， ∴P点坐标为（-2,4）； 综上所述，P点坐标为：（2,2）或（5,）或（-2,4）. 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式建立方程是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $