2024年中考数学几何模型复习--弦图模型

弦图模型 破解策略 1.弦图模型 如图,在正方形 ABCD 中,BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE,AE⊥BF,则:△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. 证明 因为∠ABC=∠BFC=90°, 所以∠ABE+∠FBC=∠FBC+∠FCB=90°, 所以∠ABE=∠BCF. 又因为 AB=BC, 所以△ABE≌△BCF. 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. 2.弦图模型的拓展 若将 AE,BF,CG,DH 延长,分别交 BC,CD,AD,AB于点M,N,P,Q,则: (1)△ABM∽△BEM∽△AEB,△BCN∽△CFN∽△BFC,△CDP∽△DGP∽△CGD,△DAQ∽△AHQ∽△DHA. (2)△ABM≌△BCN≌△CDP≌△DAQ. 例题讲解 例1 (2019·内蒙古包头)如图,在正方形 ABCD 中,AB=6,M 是对角线 BD 上的一个动点 连接AM,作 MN⊥AM,交 BC 于点 N. (1)求证:MA=MN; (2)过点 N 作 NH⊥BD 于点 H,当. 时,求△HMN的面积. 分析 作垂直构造弦图模型即可. 解答 例2 如图,在正方形 ABCD 中,E是AD 上一点,作 FG⊥CE,分别与AB,CD 交于点F,G,垂足为O,连接OB.若 AD=3DE,∠OBC=2∠DCE. (1)求 的值； (2)若 AD=3,求 OE 的长. 分析 从模型的拓展中可以看出，通过平移 FG 能得到三角形全等，进而解决问题. 解答 例3如图1,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,且 DQ⊥AE,点 G,F 分别在边 CD,AB 上,且GF⊥AE,则.DQ=AE,且 (1)类比探究:如图2,在矩形 ABCD 中, (k为常数).将矩形 ABCD沿GF 折叠,使点 A 落在 BC边上的点 E 处,得到四边形 FEPG,EP 交CD 于点 H,连接AE 交GF 于点O.试探究 GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由. (2)拓展应用：在(1)的条件下，连接CP，当 时，若 求CP的长. 分析 (1)过点G作AB 的垂线，从而得到类似于弦图的图形；(2)由(1)可得AE的长，再利用翻折的性质求得AB，BC，进而构造一线三等角模型即可解决问题. 解答 例4 (1)如图1,在 Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D 是 BC 边的中点,BE⊥AD 于点E,与 AC交于点F，求 的值； (2)如图2,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,D 是 BC 边的中点,BE⊥AD 于点E,与 AC 交于点 F.若 AB=3,BC=4,求CF 的长. 分析 (1)由AB=BC,AD⊥BF 想到以AB,BC 为边构造出一个正方形,进而得到弦图;(2)与(1)类似，以 AB，BC为边构造出一个矩形，进而得到类似于弦图的图形. 解答 进阶训练 1.如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线 同时经过点 B，且点 A 在点 B 的左边.点 A 的横坐标为 ,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为 . 2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,N 是 BC 边上一点,且BN=n(n>0).动点 P 从点 A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿 AB 边向点 B 运动,连接 NP,作射线 PM⊥NP,与 AD 交于点M.设点 P 运动的时间是t秒(t>0). (1)当点 M 与点 A 重合时,t= 秒,当点 M 与点 D 重合时,n= . (2)若 n=2. ①在点 P 运动过程中，点 M 是否可以到达线段AD 的延长线上? ②连接ND,当t为何值时,ND∥PM? (3)过点 N作NK∥AB，与AD交于点K，若在点 P 运动过程中，点K 与点M 不会重合，求 n的取值范围. 3.在 Rt△ABC中,∠B=90°,在 AB 边上任取一点 D,连接CD. (1)如图1,分别以 AC,DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH,分别过点 E,H 作 BC 所在直线的垂线，垂足为 K，I，试探究 EK 与 HI 之间的数量关系，并加以证明； (2)如图2,分别以 AC,DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH,连接 EH,与 BC 所在直线交于点 T.若AC=kCE,CD=kCH,试探究 TE与 TH 之间的数量关系,并加以证明. 4.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=3,E 是边CD 的中点,点 P,Q分别是射线DC 与射线EB 上的动点,连接 PQ,AP,BP,设 当AP 平分∠DPB时,求. 的面积. 5.如图,在正方形 ABCD中,E 是AB 的中点,连接CE,过点 B 作 于点G,交 A