2024年九年级中考数学几何模型复习--对角互补模型

对角互补模型 破解策略 1.全等型之 90° 如图,∠AOB=∠DCE=90°,∠DCE的顶点在∠AOB 的平分线OC上,两边分别与射线 OA,OB 交于点D,E,则: (1)CD=CE; 证明 方法一:如图1,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB 于点M,N. 由角平分线的性质可得CM=CN,∠MCN=90°.所以∠MCD=∠NCE. 从而△MCD≌△NCE(ASA),故 CD=CE. 易证四边形 MONC 为正方形， 所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON= OC. 所以 方法二:如图2,过点 C作CF⊥OC,与OB交于点F. 易证. . 所以△DCO≌△ECF(ASA), 所以CD=CE,OD=FE, 从而 所以 【拓展】 如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则： (1)CD=CE; 如图1，图2，证明同上. 2.全等型之 120° 如图,∠AOB=2∠DCE=120°,∠DCE 的顶点在∠AOB 的平分线OC 上,两边分别与射线 OA,OB 交于点D,E,则: (1)CD=CE; (2)OD+OE=OC; 证明 方法一:如图1,过点 C分别作CM⊥OA,CN⊥OB 于点M,N. 易证△MCD≌△NCE(ASA), 所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC, 所以 方法二:如图2,在 OB上取一点F,使得∠OCF=60°,则△OCF为等边三角形. 易证△DCO≌△ECF(ASA), 所以CD=CE,OD+OE=OF=OC, 所以 【拓展】 如图，当∠DCE的一边与AO 的延长线交于点 D 时，则： (1)CD=CE; (2)OE-OD=OC; 如图1，图2，证明同上. 3.全等型之任意角α 如图,∠AOB=2a,∠DCE=180°-2α,∠DCE 的顶点在∠AOB 的平分线OC上,两边分别与射线 OA,OB交于点D,E,则: (1)CD=CE; (2)OD+OE=2OC·cosα; 证明 方法一:如图1,过点 C分别作CM⊥OA,CN⊥OB 于点M,N. 易证△MCD≌△NCE(ASA), 所以CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·cosα, 所以 方法二：如图2，在 OB 上取一点F，使得 ,则OC=FC. 易证△DCO≌△ECF(ASA), 所以CD=CE,OD+OE=OF=2OC·cosα, 所以 【拓展】 如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则： (1)CD=CE; (2)OE-OD=2OC·cosα; 如图1，图2，证明同上. 4.相似型之 90° 如图,∠AOB=∠DCE=90°,∠DCE的顶点在∠AOB 内部射线OC上,两边分别与射线 OA,OB 交于点 D,E.若∠COB=α,则 CE=CD·tanα. 证明 方法一:如图1,过点 C分别作CM⊥OA,CN⊥OB 于点M,N. 易证△MCD∽△NCE, 所以 即 CE=CD·tanα. 方法二:如图2,过点 C作CF⊥OC,与OB交于点F. 易证△DCO∽△ECF, 所以 即CE=CD·tanα. 方法三:如图3,连接 DE,易证 D,O,E,C四点共圆,所以∠CDE=∠COE=α,故 CE=CD·tanα. 【拓展】 如图,当∠DCE 的一边与AO的延长线交于点D时,则CE=CD·tanα. 如图1，图2，图3，证明同上. 例题讲解 例1 已知AP 平分∠MAN,B 是射线AP 上一定点,C在直线AM上运动,连接BC. (1)如图1,∠MAN=90°,将射线 BC 绕点 B 顺时针旋转 90°,旋转后与射线 AN 交于点 D.当点C 在射线AM 上时,BD 和BC 之间的数量关系是 ,线段 AC,AD 和AB 之间的数量关系是 ; (2)如果 ,将射线 BC绕点 B 顺时针旋转 120°,旋转后与射线 AN 交于点 D; ①如图2，当点 C 在射线AM 上时，请探究线段 AC，AD 和AB 之间的数量关系，写出结论并给予证明； ②如图3，当点C 在射线AM 的反向延长线上时，BC 与射线AN 交于点E，若 求线段AD 和DE的长. 分析 图1 为全等型之 90°，图 2、图3 为全等型之 60°，参阅模型结论的证明过程. 解答 例2已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O 于点D,连接 DB,DC. (1)如图1,当∠BAC=120°时,请直接写出线段 AB,AC,AD 之间满足的等量关系式: ; (2)如图2,当∠BAC=90°时,试探究线段 AB,AC,AD之间满足的等量关系,并证明你的结论; (3)如图3,若 BC=5,BD=4,求 的值. 分析 图 1 为全等型之12