1.2 .2 函数的和差积商求导法则 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.2 课时2 函数的和差积商求导法则 【学习目标】 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.(数学运算) 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(逻辑推理、数学运算) 3.利用导数的运算法则解决有关问题.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.默写基本初等函数的导数公式表. 2.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么? 3.如何求两函数和、差、积、商的导数? 4.[f(x)·g(x)]'与f'(x)·g'(x)相等吗?'与相等吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　) (2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　) 2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　). A.ex(x+1) B.1+ex C.x(1+ex) D.ex(x-1) 3.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.  4.若y=,则y'=　　　　.  【合作探究】 探究1 函数和（差）的求导法则 问题1:F(x)=cf(x)的导数是不是f'(x)和实数c的乘积? 问题2:如果f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,证明:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x). 问题3:导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗?如果可以,写出推广形式. 新知生成 1.两函数和与差的求导法则 一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(差)的导数,有下列法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). 特别地,[f(x)±c]'=f'(x). 2.两函数和与差的导数的拓展 [f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x). 新知运用 例1　求下列函数的导数. (1)y=x2+log3x;(2)y=sin x-2x2. 【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解. 求下列函数的导数. (1)y=5-4x3; (2)y=lg x-. 探究2 函数乘积的求导法则 问题:你能利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗? 新知生成 函数乘积的求导法则 [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). 新知运用 例2　求下列函数的导数. (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=2xcos x-3xln x. 求函数y=2xcos x-3xlog2020x的导数. 探究3 函数的倒数与商的求导法则 问题1:如何求函数F(x)=(f(x)≠0)的导数? 问题2:根据函数的乘积和倒数的求导法则,能推出(f(x)≠0)的求导法则吗? 问题3:若f(x),g(x)都是可导函数,且f(x)≠0,那么关系式'=-(a为常数)成立吗? 新知生成 1.函数的倒数的求导法则 '=-(f(x)≠0). 2.两函数的商的求导法则 '=(g(x)≠0). 新知运用 例3　求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=+; (3)y=. 【方法总结】　　1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导,如例3(2). 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化. 求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=. 探究4 导数运算法则的应用 例4　已知函数f(x)=ax2+ln x的导数为f'(x). (1)求f(1)+f'(1); (2)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围. 【方法总结】　　1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,可以将其他的条件转化为这三个要素间的关系. 2.准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. 3.分清“在某点”和“过某点”切线的不同. 1.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的倾斜角为,则实数a等于(　　). A.1 B.-1 C.7 D.-7 2.曲线y=-在点M,0处的切线的斜率为　　　　.  【随堂检测】 1.(多选题)下列运算中正确的是(　　). A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)'(a,b,c∈R) B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)' C.'= D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos