1.1 课时3 导数的几何意义学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.1 课时3 导数的几何意义 【学习目标】 1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程.(数学抽象、直观想象、数学运算) 2.通过导数的几何意义,了解微积分中以直代曲的数学思想.(数学抽象) 【自主预习】 1.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么? 2.如果设曲线的方程为y=f(x),点A的坐标为(x0,f(x0)),那么曲线在点A处的切线的斜率是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. (　　) (2)若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线. (　　) 2.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为(　　). A.4 B.16 C.8 D.2 3.函数y=f(x)的图象如图所示,下列描述错误的是(　　). A.函数f(x)在x=-5处比x=-2处变化快 B.函数f(x)的图象在x=-4处呈上升趋势 C.函数f(x)在x=1和x=2处增减趋势相反 D.函数f(x)的图象在x=0处呈上升趋势 【合作探究】 探究1 导数的几何意义 设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn). 问题1:割线PPn的斜率kn是什么? 问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系? 问题3:如何求得过点P的切线PT的斜率? 问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点? 问题5:曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同? 新知生成 1.切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. 2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f'(x0). 新知运用 一、求曲线的切线 例1　已知曲线y=x3+. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 【方法总结】　　求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,即给出了切点P(x0,y0)的坐标,求切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). 要注意“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”的区别,若题中所给点(x0,y0)不一定是切点,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 二、求切点坐标或参数值 例2　(1)已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.  (2)若直线y=3x+b与曲线y=x3相切,则b=　　　　.  【方法总结】　　解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意【解析】几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,平行、垂直直线斜率间的关系等. 1.求函数y=f(x)=3x2的图象在点(1,3)处的切线方程. 2.已知曲线f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值. 探究2 利用图象理解导数的几何意义 观察函数h(t)的图象,思考下列问题. 问题1:函数的图象在t=t0处的切线l0与t轴有什么关系?h'(t0)的值与0的大小关系是什么?图象在t=t0附近的变化情况如何? 问题2:函数的图象在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)与0的大小关系是什么?图象在t=t1附近的变化情况如何? 问题3:函数的图象在t=t2处的切线l2的斜率h'(t2)的值与0的大小关系是什么?图象在t=t2附近的变化情况如何? 问题4:通过对比直线l1与直线l2的倾斜程度,说明函数在t=t1附近与在t=t2附近的变化趋势对比情况. 新知生成 若f'(x0)=0,则函数图象在x=x0处切线斜率k=0; 若f'(x0)>0,则函数图象在x=x0处切线斜率k>0,函数在x=x0附近单调递增,f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快; 若f'(x0)<0,则函数图象在x=x0处切线斜率k<0,函数在x=x0附近单调递减,|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快. 新知运用 例3　已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　). A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(