2024年九年级中考数学几何模型复习--角含半角模型

角含半角模型 破解策略 1.等腰直角三角形角含半角 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D,E 在边 BC上,且∠DAE=45°,则: (1)△BAE∽△ADE∽△CDA; 证明 (1)易得∠ADC=∠B+∠BAD=∠EAB,所以△BAE∽△ADE∽△CDA. (2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD绕点A 逆时针旋转 90°得到△ACF,连接EF,则∠EAF=∠EAD=45°,AF=AD, 所以△DAE≌△FAE(SAS), 所以 DE=FE. 而 CF=BD,∠FCE=∠FCA+∠ACE=90°, 所以 方法二(翻折法):如图2,作点 B 关于AD 的对称点F,连接AF,DF,EF, 则∠FAE=∠CAE,AF=AB=AC, 所以△FAE≌△CAE(SAS), 所以EF=EC. 而 DF=DB,∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°, 所以 【拓展1】 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 在边 BC 上,点 E 在BC 的延长线上,且∠DAE=45°,则: (1)△BAE∽△ADE∽△CDA; 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： 【拓展2】 将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 在边 BC上，且 则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为 可以通过旋转、翻折的方法将 BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图： 2.正方形角含半角 如图1,在正方形 ABCD中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,∠EAF=45°,连接 EF,则: (1)EF=BE+DF; (2)如图2,过点 A 作AG⊥EF 于点G,则 AG=AD; (3)如图3,连接 BD,与 AE 交于点 H,连接 FH,则 FH⊥AE. 证明 (1)如图,将△ABE绕点A 逆时针旋转 90°得到△ADI, 则∠IAF=∠EAF=45°,AI=AE, 所以△AEF≌△AIF(SAS), 所以EF=IF=DI+DF=BE+DF. (2)由△AEF≌△AIF,AG⊥EF,AD⊥IF 可得 AG=AD. (3)方法一:如图,连接AC. 易证△ABH∽△ACF,从而得△ABC∽△AHF, 所以∠AHF=∠ABC=90°,即得证. 方法二:由∠HAF=∠HDF=45°可得A,D,F,H 四点共圆, 从而 ,即 FH⊥AE. 【拓展1】 如图,在正方形ABCD中,点E,F 分别在边CB,DC 的延长线上,. ,连接 EF,则EF=DF-BE. 可以通过旋转的方法来证明，如图： 【拓展2】 将正方形变成一组邻边相等、对角互补的四边形：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°,点 E,F 分别在边 BC,CD上, 连接 EF,则 EF=BE+DF. 可以通过旋转的方法来证明，如图： 例题讲解 例1 (1)如图1,△ABC与△DCE 均为等腰直角三角形,且. ,DC 与AB 交于点M,CE 与AB 交于点 N.求证: (2)如图2,在四边形 ABCD 中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,AC平分∠BCD.若. 求对角线AC的长. 分析 图1为等腰直角三角形角含半角，图2可构造等腰直角三角形角含半角，从而利用(1)中结论求解. 解答 例2 如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=BC,点 D,E在边AB上,且满足. 60°. CD,CE将△ABC分成三个小三角形,求△BCD,△DCE,△ACE 这三个三角形的面积之比. 分析 这三个三角形共线边上的高相等，故只需求共线的三边的比即可.图为等腰三角形角含半角，利用旋转或轴对称，可将三条线段集中到同一个三角形中，进而求解. 解答 例3 如图,在正方形 ABCD中,△AEF 的顶点E,F 分别在边 BC,CD 上,高 AG 与正方形的边长相等. (1)求∠EAF 的度数; (2)连接 BD,分别与 AE,AF 交于点 M,N.若 求正方形的边长及 MN的长. 分析 (1)证三角形全等即可；(2)由(1)可得图中既有正方形角含半角，又有等腰直角三角形角含半角，利用模型结论求解. 解答 例4 (1)【问题背景】如图1,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是边 BC,CD上的点,且∠EAF=60°,则 EF,BE,FD的数量关系是 ; (2)【探索延伸】如图2,若在四边形 ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是边 BC,CD上的点，且 则(1)中