2024年九年级中考数学几何模型复习--相似三角形的基本模型

几何模型 相似三角形的基本模型 破解策略 相似三角形是几何证明中重要的应用之一，利用三角形相似可证明角相等、线段成比例(或等积式)以及求线段的长，所以能在复杂的图形中找到相似三角形的基本模型至关重要. 圆中得角相等的方法有很多，所以相似三角形常与圆相结合. 1.“A”字型和反“A”字型 如图,在△ABC中,点 D,E 分别在AB,AC 上. (1)“A”字型:若DE∥BC,则△ABC∽△ADE. (2)反“A”字型:若∠AED=∠ABC,则△ABC∽△AED. 2.“8”字型和反“8”字型 如图,在△ABC中,点 D,E分别在BA,CA 的延长线上. (1)“8”字型:若DE∥BC,则△ABC∽△ADE. (2)反“8”字型:若∠AED=∠ABC,则△ABC∽△AED. 3.母子型 如图,在△ABC 中,点D在AB 上. (1)共线共角型:若∠ACD=∠ABC,则△ABC∽△ACD. (2)双垂直:若∠ACB=∠ADC=90°,则△ABC∽△ACD∽△CBD. 利用双垂直的结论，可证明射影定理：( 4.一线三等角① 如图,在△ABC和△CDE中,B,C,D三点共线,且∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE. 5.旋转型② 如图1,在△ABC中,点D,E 分别在AB,AC 上,且 DE∥BC.将△ADE 绕点 A 旋转一定角度,连接BD,CE,如图 2,则△ABD∽△ACE. 例题讲解 例1 在△ABC中,E,F分别是线段AB,AC上的点(不与点 A,B,C重合). (1)如图1,若EF∥BC,求证: (2)如图2，若 EF 不与BC 平行，(1)中的结论是否仍然成立? 请说明理由； (3)如图3,若 EF 上一点G 恰为△ABC 的重心, 求 的值. 分析 (1)图为“A”字型，由相似三角形的性质即可得；(2)作两三角形共线边上的高，得“A”字型；(3)作中线和中位线，构造“8”字型，得 AG 同与其共线的中线的比值，从而利用(2)中的结论即可得解. 解答 例2 (1)如图1,在△ABC中,点O在BC 边上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3 ,BO:CO=1: 3,求 AB 的长; (2)如图2,在四边形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O, 75°,BO: DO=1:3,求CD 的长. 分析 (1)过点 B 作 AC 的平行线，构造“8”字型相似，即可解决问题；(2)参考(1)的解题思路.解答 例3 如图,点 C,D在以AB 为直径的⊙O上 弦CD与AB 交于点 E. (1)求证: (2)已知OA=4,E是半径OA 的中点,求线段 DE 的长. 分析 (1)求证的等式中线段所在的三角形构成母子型，故而证相似即可；(2)连接OC，即可求 BC，CE，从而利用(1)中的结论来求 DE. 解答 例4 如图,在四边形 ABCD中,AB=AD=CD,以 AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD,交于点E,连接 BD交⊙O 于点F,连接 EF.若 求 EF 的长. 分析 根据已知易得OD垂直平分AC,结合tan∠ABC=2.可证DA,DC是⊙O的切线,再由BC的长求得OB,DB,DE的长.若△DBO∽△DEF,即可求线段EF的长. 解答 例5 如图，直线 与x轴交于点A(4,0),与 y 轴交于点 B,C 是线段OA 上一动点 以点A为圆心、AC长为半径作⊙O，与x轴交于另一点D，与AB 交于点 E，连接OE 并延长交⊙A 于点F,连接CE. (1)当CE=EF时,求证:△OCE∽△OEA; (2)当点 C在线段OA 上运动时,求 OE·EF的最大值. 分析 (1)圆中证相似，通常从角出发；(2)点 E 是不固定的，但△AOB 是固定的，可以利用相似将OE·EF 转化到与△AOB 中线段相关的式子. 解答 例6如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB 于点E,F 是⊙O上一点,且. 连接 FB,FD,FD交AB 于点 N. (1)若 AE=1,CD=6,求⊙O的半径; (2)连接FC并延长交 BA 的延长线于点 P,过点 D 作⊙O的切线,交 BA 的延长线于点M.求证:ON·OP=OE·OM. 分析 (1)CD是垂直于直径的弦，连接OC，利用垂径定理和勾股定理即可求得；(2)求证线段积相等时，从结论出发，确定三角形证相似即可；如果不能直接确定三角形，可借助中间量，多次利用相似来证明. 解答 例7在菱形ABCD中,AC,BD交于点O,M是AC上的动点,直线 BM 分别与边AD,CD 所在的直线交于点P,Q.求证: 解答 学科网（北京）股份有限公司 $$