1.2.1几个基本函数的导数学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.2 课时1 几个基本函数的导数 【学习目标】 1.能根据定义求常见幂函数的导数.(数学抽象、数学运算) 2.掌握一些基本函数的导数公式,并能进行简单的应用.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.导数的定义是什么? 2.定义法求函数y=f(x)的导数的一般步骤是什么? 3.如何求f(x)=的导数? 4.由几个常见函数的导数能否得出y=xn的导数公式? 5.正、余弦函数的导数公式,指数函数与对数函数的导数公式分别是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. (　　) (2)若y=,则y'=×2=1. (　　) (3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. (　　) (4)若y=,则y'=. (　　) 2.给出下列结论: ①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'=-; ③若y=2x,则y'=2xln 2;④若y=log2x,则y'=. 其中正确结论的个数为(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 3.若函数f(x)=10x,则f'(1)等于(　　). A. B.10 C.10ln 10 D. 4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为　　　　.  【合作探究】 探究1 常见幂函数的导数 问题1:函数y=f(x)=c的导数是什么?如何从几何、物理的角度理解? 问题2:函数f(x)=x的导数是什么?并说明其导数的几何意义. 问题3:函数y=f(x)=x3 的导数是什么? 新知生成 常见幂函数的导数 (1)常函数的导数为0,即c'=0; (2)恒等函数导数为1,即x'=1; (3)(x2)'=2x; (4)(x3)'=3x2; (5)'=-; (6)()'=. 新知运用 例1　写出过点A(-5,3)并且和曲线xy=1相切的两条直线的方程. 【方法总结】　　(1)若点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程,先求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 探究2 一些基本初等函数的导数 已知函数:①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=. 问题1:这些函数是哪类初等函数? 问题2:写出这五个函数的导数,其导数有什么规律? 问题3:这些导数的几何意义是什么? 问题4:这些导数的物理意义是什么? 新知生成 基本初等函数的导数公式 (公式对函数定义域内的自变量x有效,其中(7)(8)(9)中的自变量x的单位是弧度) (1)c'=0; (2)(xα)'=αxα-1(α≠0); (3)(ex)'=ex; (4)(ax)'=axln a(a>0,且a≠1); (5)(ln x)'=(x>0); (6)(loga x)'=(a>0,且a≠1,x>0); (7)(sin x)'=cos x; (8)(cos x)'=-sin x; (9)(tan x)'=. 新知运用 例2　求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=log3x;(3)y=; (4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln. 【方法总结】　　求简单函数的导函数的基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较烦琐. (2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式. 求下列函数的导数. (1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2; (4)y=cos +sin cos -sin ; (5)y=e0. 探究3 导数公式的综合应用 例3　已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可表示为y=,则在时刻t=400 min时的降雨强度为　　　.  【方法总结】　　利用导数的定义解决问题,要注意观察定义式的结构特征,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化强度就是求相关函数在某点处的导数. 1.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价,假定某种商品的p0=1,那么当t=10时,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(精确到0.01元/年)(1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05) 2.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c的值为　　　　.