精品解析：上海市建平中学2023-2024学年高一下学期第一次教学质量检测（3月月考）数学试卷

建平中学2023学年第二学期第一次教学质量检测 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．满分100分，考试时长90分钟 一、填空题（共36分） 1. 已知点，，则的坐标为______． 2. 函数最小正周期是_____________. 3. 函数，的值域为__________． 4. 若，且，则______________． 5. 已知等边三角形ABC边长为4，则在方向上数量投影为______． 6. 已知x、y是实数，向量，不平行，若，则______． 7. 在中，a、b、c分别是的内角A、B、C所对的边，，则______． 8. 如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是______ ． 9. 函数，若，则______． 10. 已知函数是定义在R上奇函数，且，，则______． 11. 已知函数，将图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则______ ． 12. 已知，若存在m，，使得与夹角为，且，则的最小值为______． 二、单选题（共12分） 13. 若，，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，定义在R上的函数，，依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记．则对于下列命题： ①若严格增函数，则； ②若是严格减函数，则； ③若是周期函数，则；正确的有（ ） A 无一正确 B. ①② C. ③ D. ①②③ 三、解答题（共52分） 17. 已知平面向量，的夹角为，且，，，． （1）若，求λ； （2）当，求． 18. 某同学用“五点法”面函数，在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 0 5 －5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）当时，求的解集． 19. 如图，在中，． （1）用，表示，； （2）若点满足，证明：，，三点共线． 20. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 21. 对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． （1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平中学2023学年第二学期第一次教学质量检测 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．满分100分，考试时长90分钟 一、填空题（共36分） 1. 已知点，，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为点，，可得， 所以的坐标为. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 3. 函数，的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数单调性求出值域即可. 【详解】∵函数在区间上单调递增， ∴函数在区间上的值域为． 故答案为：. 4. 若，且，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由值及，可得的值，计算可得的值. 【详解】解：由，且，由，所以，故， 故答案为：.