2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习讲义 专题27 点圆,线圆最值(隐圆模型)

专题27 点圆,线圆最值(隐圆模型) 模型 隐圆模型-点圆、线圆最值 【模型讲解】 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中,当连线过圆心O时,线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定:OD=d,⊙O半径为r): 1.当D点在⊙O外时,d>r,如图①、②:当D、 E、O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为d+r,DE的最小值为d-r; 2.当D点在⊙O上时,d=r,如图③、④:当D、E、O三点共线时,线段DE出现最值, DE的最大值为d+r=2r(即为⊙O的直径),DE的最小值为d-r=0(点D、E重合); 3.若D点在⊙O内时,d<r,如图⑤、⑥:当D、E、O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为d+r,DE的最小值为r-d. 【口诀】双定边,手拉手;点共线,最值显;和最大,差最小 【例题5】 1.已知点O及其外一点C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示,则OB长的最大值为 ,OB长的最小值为 ,AC长的最大值为 ,AC长的最小值为 ,AB长的最大值为 ,AB长的最小值为 . 【变式】 2.如图,的半径为2,圆心的坐标为,点是上的任意一点,,且、与轴分别交于、两点,若点、点关于原点对称,当线段最短时,点的坐标为 . 【变式】 3.如图,在平面直角坐标系中,P是直线上的一个动点,的半径为1,直线切于点Q,则线段的最小值为 . 【变式】 4.(1)如图,木杆AB靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时,木杆的底端B也沿着水平方向向右滑动.你能用虚线画出木杆中点M 随之运动的轨迹吗? (2)在(1)的基础上,若AB=4,以AB为作等边 ABC,如图所示, 连接OC,当木杆AB在下滑过程中,试求OC的最大值. 模型五 【模型讲解】 5.如图,AB为⊙O的一条定弦,点C为圆上一动点. (1)如图①,若点C在优弧AB上,当CH⊥AB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时S ABC的面积最大. 如图②,若点C在劣弧AB上,当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时S ABC的面积最大. (2)如图,⊙O与直线l相离,点P是⊙O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,则点P到直线l的最小距离是 (如图③),点P到直线l的最大距离是 (如图④). 【例题】 6.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将 CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是( ) A.1 B.1.2 C.3 D.5 【变式】 7.如图,的半径是5,点在上.是所在平面内一点,且,过点作直线,使. (1)点到直线距离的最大值为 ; (2)若,是直线与的公共点,则当线段的长度最大时,的长为 . 参考答案: 1. 8 2 9 1 12 0 【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可. 【详解】解:位于一条直线上时, 当点在点左侧时,最大,最大值为:, 当点在点右侧时,最小,最小值为:, 位于一条直线上时, 当点在点左侧时,最大,最大值为:, 当点在点右侧时,最小,最小值为:, 在一条直线上时,且位于点左侧,点位于点右侧, 此时,最大,最大值位:, 当点重合时,最小,最小值为:, 故答案为:8,2,9,1,12,0. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,根据题意得出相应的位置是解本题的关键. 2. 【分析】连接OP,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到OP=AB,当OP最短时,AB最短,连接OM交⊙M于点P,则此时OP最短,且OP=OM-PM,计算即可得到结论. 【详解】解:如图所示,连接OP. ∵PA⊥PB,OA=OB, ∴OP=AB,当OP最短时,AB最短. 连接OM交⊙M于点P,则此时OP最短,且OP=OM-PM==3, ∴AB的最小值为2OP=6. ∵点、点关于原点对称, ∴OA=OB=3, ∴点A的坐标为, 故答案为:. 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式.解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP. 3. 【分析】连接PQ、OP,如图,根据切线的性质得PQ⊥OQ,再利用勾股定理得到OQ,利用垂线段最短,当OP最小时,OQ最小,然后求出OP的最小值,从而得到OQ的最小值. 【详解】解:连接PQ、OP,如图, ∵直线OQ切⊙P于点Q, ∴PQ⊥OQ, 在Rt OPQ中,OQ==, 当OP最小时,OQ最小, 当OP⊥直线y=2时,OP有最小值2, ∴OQ的最小值为==. 故答案为:. 【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾