专题24 米勒定理(隐圆模型)-2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题24 米勒定理(隐圆模型) 模型　隐圆模型－－－－－米勒定理（最大张角问题） 【模型背景】 1471年，德国数学家米勒（Joannes miiller）向诺德尔（Christion roder）提出这样一个问题： 如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置． 【模型描述】 圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． 如图，∠P＝∠ACB－∠PBC． 换句话说，对同一个圆而言，圆周角＞圆外角． 【模型通解】 结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大． 证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM， ∠AMB即为圆O的圆外角， ∴∠APB＞∠AMB，∠APB最大． ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大． 【模型拓展】 特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP²＝OA·OB．（切割线定理） 考法1 踢球问题 【例题】 1．如图，已知足球球门宽AB约为5 米，一球员从距B点5米的C点（点A､B､C均在球场底线上），沿着与AC成45°角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出此时点P到点C的距离；若找不到，请说明理由． 【变式】 2．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 【变式】 3．问题探究：（1）如图①，AB为⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB； （2）如图②，AB 是⊙O的弦，点C是⊙O上的一个点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB<∠ACB，画出∠APB； （3）如图③，已知足球门宽AB约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场的底线上），沿与AC成45°的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找一点P，使得点P最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由． 考法2 坐标问题 【例题】 4．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=且∠ACB最大时，b的值为（　　） A． B． C． D． 【变式】 5．如图，在平面直角坐标系中，点A（2， 0）、B（5，0），点P是直线y ＝ x ＋1上的一个动点，连接 AP．BP．当 ∠APB最大时，求点P的坐标． 【变式】 6．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是 ． 【变式】 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆． ①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径； ②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由； （2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由． 考法3 视角问题 【例题】 8．问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB　 　∠ACB（填“＞”“＜”“=”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离． 【变式】 9．1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切