专题22 瓜豆原理——2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习

专题22 瓜豆原理 瓜豆原理——主从动点问题 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题． 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．） 满足条件： 1.两动一定； 2.动点与定点的连线夹角是定角； 3.动点到定点的距离比值是定值． 结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同． 方法：第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值． “瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似． 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值． 位似型（主从一线） ①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹 ②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹 旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向） ③点O为定点，∠POQ＝α且，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹 模型一：位似型 例1： 1．如图，，，点为平面内一动点，且，点为线段中点，则线段的取值范围为 ． 变式1－1： 2．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 变式1－2： 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（    ） A．14 B．7 C．9 D．6 变式1－3： 4．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点． （1）当点E从点D向点A运动的过程中： ①求证：AF⊥BE； ②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长； （2）在整个运动过程中： ①线段DH长度的最小值为______． ②线段DH长度的最大值为_________　． 变式1－4： 5．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ． 变式1－5： 6．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是 ． 变式1－6： 7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ． 变式1－7： 8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=8，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 . 模型二：全等旋转型 例2： 9．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ． 变式2－1： 10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．    变式2－2： 11．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ． 求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值． 变式2－3： 12．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（    ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 变式2－4： 13．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 变式2－5： 14．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为