2024年九年级中考数学相似三角形模型专题复习---旋转相似模型

相似三角形模型----旋转相似模型 一、模型介绍 (一)基本模型 已知: 在△ABC中, 点 D, E 分别在 AB, AC 上, 且 DE∥BC,将△ADE绕点 A 旋转. 结论: △ABD∽△ACE. (二) 结论推导 结论: △ABD∽△ACE. 证明: ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB, ∵∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE. (三) 满分策略 如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似. 在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解. 二、典型例题 例 1 如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠AED=90°, 若BD=2, 则 CE的长为 . 考点分析：等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质. 思路点拨: 由题意, △ABC∽△ADE, 相似比为 则 例 2 如图, 在△ABC中, 点 D 为平面内一点， 连接 DC, 将线段DC绕点 D 顺时针旋转90°得到DE, 连接 BE,若 BE∥AC, 则DC的长为 . 考点分析：等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理. 思路点拨: 由题意, △BCE∽△ACD, 则. 分点D在. 外部和内部两种情况进行讨论. 设 AD 交 BC 于点 F,导角可得∠AFC=90°, 在 Rt△DFC 中,由勾股定理可求DC的长. 例3 如图,在△ABC和△ADE中,∠ABC=∠ADE=90°,∠BAC=∠DAE,将△ADE绕点A 旋转, 直线BD与 CE相交于点F. (1) 求证:△ABD∽△ACE; (2) 连接AF，判断AF与CF的位置关系，并说明理由； (3)若F为BD的中点,.AB=8, BC=11, AD=2 ,直接写出BD的长. 考点分析：相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理 思路点拨：(1) 根据两角夹一边证明两个三角形相似； (2) 过点 C 作 CM⊥DF 于点 M，先证 △FMC,再证△AFC∽△BMC; (3) 连接 AF 并延长至点 G, 使 FG=AF, 连接 BG, CG, DG, 延长CB交 DG于点H,分别在 Rt△BGH和Rt△CGH 中对 GH 运用勾股定理,求出BH的长, 从而求出 BD的长. 三、提分必练 (一) 基础 1. 如图,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠DEC=30°, 若BE=6, 则 CD的长为 2.如图, 和 都是直角三角形， 且 连接BD, CE, 并延长CE交BD于点F, 交 AB 于点 G, 求: C的值为 . 3.如图,在正方形 ABCD 中,点 E, F 分别在边 BC, CD 上,且 AE与BF交于点 O, N为AD 的中点,连接ON, 作 OM⊥ON交 AB 于点 M,连接 MN, 则 tan∠AMN= (二) 提升 1.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠ADC=∠ACB=60°,BD=5,CD= ,则AD的长为 . 2. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°, 点P为△ABC内一点, 求△ABC的面积. 3. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°, AB=2AC, 点D为△ABC外一点,∠BDC=∠ACB, 若 求BD的长. 4.在△ABC中, AB=AC,∠BAC=120°,点D 在边AC上, 连接 DB, 将DB 绕点D 逆时针旋转120°得到DE, 连接CE, 点F在线段BD上. (1) 求证: △ABD∽△CBE; (2)如图1, 若AF∥CE, AF=5, CE=12,求 的值； (3)如图2, 若 AF∥DE,若 求 的值. 5. 如图, 在 中, 点 M 为 AB 的中点, 点 E 为 AC 上一点, 点 D 为BE 上一点, (1) 求证: (2) 用等式表示∠CDE与 的数量关系，并证明； (3) 若 求 tan∠ADE的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$