精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三第二次模拟考试数学试卷

哈九中2024届高三学年第二次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） Ⅰ卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个． A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 2. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 3. 已知数列为等差数列，，，则（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ） A. B. 是周期函数 C. D. 5. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，且，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体体积是 10. 已知复数和，则下列命题是真命题的有（ ） A. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是圆． B. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆． C. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线． D. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线． 11. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. Ⅱ卷 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则______． 13. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为______． 14. 已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为______；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为______． 四、解答题：本大题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且函数在上的最大值为． （1）求常数的值； （2）求函数单调递减区间． 16. 已知是抛物线准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为． （1）求抛物线焦点坐标及准线方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值． 17. 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”． （1）若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； （2）已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在，满足，求的取值范围． 19. 一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）. （1）在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）； （2）在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望； （3）若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为