重庆市南开中学2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题（3月31日）

重庆南开中学校高2026级数学测试 3.31 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z的实部与虚部的和为（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 2. 在中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ） A. 37.54 B. 38.23 C. 39.53 D. 40.52 6. 在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 的最大值为2 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 8. 在锐角中，角的对边分别为若 ，则的取值范围是（ ） A. ( B. ( C. [ D. [ 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列结论正确有（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 对任意两个非零向量，，定义新运算：.已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 11. 在中，D，E为线段上的两点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为直角三角形. D. 若，则的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为______. 13. 已知z是虚数是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是__________． 14. 已知的三个内角的对边分别为且满足则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1） （2） 16. 如图，在中，，，，P是内的一点． （1）若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长； （2）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值． 17. 如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，． （1）若B，D选两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离； （2）求值． 18. 在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. （1）求； （2）求与的面积之和的最大值. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 重庆南开中学校高2026级数学测试 3.31 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）； （2） ，的最大值为. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①；②存在，， 第1页/共1