7.1.1 数系的扩充和复数的概念-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 高一下学期 1 1、能够通过方程的解感受引入复数的必要性。体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用； 2、学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数学扩充中的作用； 3、能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类。会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系。 重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念 难点：复数系扩充的数学基本思想，复数的代数表示 学习目标 自然生活 自然数集 整数集 有理集 实数集 自然数集 整数 集 有理 数集 实数 集 由于生活中的实际需求以及数学发展过程中的内部矛盾，数系不断在扩充. 计数的需要 3-5=？的需要 平分问题的需要 边长为1的正方形的对角线长是多少? 新知探究 【复数，一个充满故事又奇特的数-哔哩哔哩】 https://b23.tv/IlMcPMH 新知探究 思考：有实数解吗？ 引入新数，使得，则. 没有 是数学家欧拉(Le-onhard Euler，1707-1783)最早引入的，它取自“y” (想象的，假想的)一词的词头. 思考：把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 新知探究 引进后的新数集和实数间进行加法/乘法运算： 所有实数能和相加，记作. 追问：你能写出一个形式，把上述数都包含在内吗？ 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 复数通常用字母表示，即. 所有实数能和相乘，记作. 当时，它是实数； 当时，它叫虚数； 当且时，它叫做纯虚数. 规定：两个复数与相等，当且仅当且. ——复数的实部 ——复数的虚部. 追问：复数能比较大小吗？ 只有当两个复数都是实数时才能比较大小 新知生成 教材P70 1、说出下列复数的实部和虚部： ，，，，，0 2、指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？ ，0.618，，0，，，，，， 3、求满足下列条件的实数，的值： (1) (2) 例题：当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数. 解：(1)当，即时，复数是实数. (2)当，即时，复数是虚数. (3)当，且时，即时，复数是纯虚数. 典例精析 全体复数所构成的集合叫做复数集，记作. 思考：复数集与数集有何关系？你能用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系吗？ 自然数集 整数 集 有理 数集 实数 集 复数 集 实数 虚数 纯虚数 复数C R 练习：设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是（　 　） A.A∪B＝C B.A＝B C.A∩(∁SB)＝⌀ D.(∁SA)∪(∁SB)＝C 解析：集合A，B，C的关系如图，可知只有 （∁SA）∪（∁SB）＝C正确.故选D. D 习题演练 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 复数用字母表示，即. 当时，它是实数； 当时，它叫虚数； 当且时，它叫做纯虚数. 若复数，则且. 为的实部，为的虚部. 自然数集 整数 集 有理 数集 实数 集 复数 集 实数 虚数 纯虚数 复数C R 课堂小结 1、下列说法中错误的是（ ）. A.复数的虚部是 B.形如的数一定是虚数 C.若，，则是纯虚数 D.若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 解：复数的虚部是，A正确； 形如的数不一定是虚数，B错误； 只有当时，是纯虚数，C错误； 若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B、C. BC 习题演练 2、已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解：(1)∵z1为纯虚数，∴,解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2；当sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 习题演练 3、若，则实数的值是______. 解：∵， ∴， 即，解得. 习题演练 -1-i 4、已知为虚数单位，则______. ① ②的幂具有周期性，周期为4 习题演练 $$