第3题函数的零点讲义-2024年高考数学二轮复习之每日一题

第3题 函数的零点 （2024·广东佛山·联考一模） 已知函数的零点为的零点为，则下列不等式成立的是（ ） A．    B．    C．    D． 根据式子结构特征，把题意进行转化→，分别为函数，，与的图象的交点→由反函数性质知，得到，判断选项A、D； →利用函数单调性和放缩法判断选项B→作差后利用配方法判断选项C→得到答案. 详解 模板总结 由，得，，即可得，，即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示， 则，，由反函数性质知，关于对称， 则，，，A、D错误， 在上为增函数，，，. 点在直线上，即，，故B正确； ，， 此时，故C错误； 故选：B. 1.由零点的定义得到，，转化为图象的交点.（同构问题中对式子结构的认识是构造的关键） 2.画图象，数形结合得到，，利用基本不等式求解. 关键点睛：（1）函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键． （2）利用同构思想，根据代数式的结构找到m、n的关系就能找到解题思路. （2024·云南昆明·模拟预测） 1．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．4048 D．8096 （2024·陕西咸阳·统考模拟预测） 已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ） A．    B． C．    D． 根据题意，利用函数的性质→分别作出和的图像→判断出方程有四个根的关系→对照四个选项一一判断. 详解 模板总结 函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C 由题意分别作出函数和的图像，判断出方程有四个根，即为直线与函数图象有4个交点.2.根据图像分别对四个选项一一判断. 求几个零点的和（积），通常根据图像，利用对称性，消元后利用基本不等式或函数（导数）求最值. （2024·湖北武汉·统考模拟预测） 2．已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C．函数可能有四个零点 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果. 【详解】由得，由得， 设点的坐标为，点的坐标为， 又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称， 则点，关于直线对称，即，得， 故选：B． 2．BCD 【分析】 对于B，，证明函数是奇函数即可；对于C，将方程等价变形为，由此即可判断；对于D，由，而，进一步求导运算即可；对于A，通过构造函数可得，由此即可判断. 【详解】对于B，， 设，则它的定义域为，它关于原点对称， 且，所以是奇函数， 由题意有三个根，则，故B正确； 对于C，由， 所以， 所以， 即已经有3个实根， 当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确； 由B可知，，而， 又， 所以 ，故D正确； 对于A，，设， 则，所以， 从而，故A错误.    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是发现，进一步只需验证是奇函数即可顺利得解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$