第18讲 计数原理与概率（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第18讲　计数原理与概率（3大考点+强化训练） [考情分析]　1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用． 知识导图 考点分类讲解 考点一：排列与组合问题 解决排列、组合问题的一般过程： (1)认真审题，弄清楚要做什么事情； (2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类； (3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素． 规律方法　排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化． 【例1】(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 【变式1】（2024·福建漳州·模拟预测）（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 【变式2】（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（    ） A．20种 B．10种 C．8种 D．6种 【变式3】（2024·四川凉山·二模）为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（    ） A． B． C． D． 考点二：二项式定理 1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路： (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项公式即得所求． 2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解． 规律方法　二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数． 【例2】（2024·贵州毕节·一模）二项式的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·辽宁大连·一模）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江温州·二模）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（    ） A． B．64 C． D．32 【变式3】（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 考点三：概率 1．古典概型的概率公式 P(A)＝. 2．条件概率公式 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0， 则P(B|A)＝. 3．全概率公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和Ai=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)= . 这个公式称为全概率公式. 规律方法　求概率的方法与技巧 (1)古典概型用古典概型概率公式求解． (2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解． (3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解． 【例3】(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)．(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的