第17讲 圆锥曲线的综合问题（4大考点母题突破+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第17讲　圆锥曲线的综合问题（4大考点母题突破+强化训练） [考情分析]　1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大． 知识导图 考点分类讲解 母题突破1：范围、最值问题 规律方法　求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式． 【例1】(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． 思路分析 ❶联立方程利用弦长求p ❷设直线MN：x＝my＋n和点M，N的坐标 ❸利用·＝0，得m，n的关系 ❹写出S△MFN的面积 ❺利用函数性质求S△MFN面积的最小值 解　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)． (2)由(1)知y2＝4x， 所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0，＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1， 所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d， 所以d＝， |MN|＝ ＝ ＝ ＝2|n－1|， 所以△MFN的面积 S＝×|MN|×d＝×2|n－1|×＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积最小，为Smin＝(2－2)2＝12－8＝4(3－2)． 【变式1】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线的准线与轴的交点为． (1)若点的横坐标大于1，当直线与抛物线的另一个交点恰好为线段的中点时，求直线的方程； (2)求内切圆的圆心到坐标原点距离的最大值． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）第一象限的点在抛物线上，过点作轴于点，点为中点． (1)求的运动轨迹曲线的方程； (2)记的焦点分别为，则四边形的面积是否有最值？ 母题突破2：定点(定直线)问题 规律方法　动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【例2】（2024·江西·一模）已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点C在E上，点分别为直线上的点. (1)求的值； (2)设直线与椭圆E的另一个交点为D，求证：直线经过定点. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左顶点为，，为上的两个动点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式2】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． (1)求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点； (2)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 【变式3】（23-24高三下·江西·开学考试）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值． 母题突破3：定值问题 规律方法　求解定值问题的两大途径 (1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母