培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2大考点+强化训练） 在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，x＋x，＋之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求，或λx1＋μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”． 知识导图 考点分类讲解 考点一　分式型 规律方法　非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算． 【例1】(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. (1)求的方程； (2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 【变式2】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知双曲线． (1)求C的右支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数． (2)记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 【变式3】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)记C的右顶点为A，过点A作直线与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 考点二　比值型 规律方法　比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3(x2－1)，得到＝－3，继续采用倒数相加解决． 【例2】(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，且点P在C上． (1)求C的方程； (2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且＝7，求l的斜率． 【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右顶点，，动直线与双曲线交于两点．当轴，且时，四边形的面积为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设均在双曲线的右支上，直线与分别交轴于两点，若，判断直线是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且，求直线l的斜率． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率． 强化训练 一、单选题 1．（2023·江西·一模）已知椭圆：的右焦点和上顶点分别为，且焦距等于4，的延长线交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古包头·一模）已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南·三模）过抛物线的焦点F作斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·吉林·开学考试）如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于，则的最小值为（    ） A．14 B．23 C．18 D．15 5．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·内蒙古包头·一模）已知点在双曲线：（）上