2.4 课时5 向量与距离课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 1 课时5 向量与距离 2 1.向量的投影长和点到线、点到面的距离之间的关系．（数学抽象） 2.把空间距离问题转化为平面问题，把立体几何问题转化为空间向量问题．（逻辑推 理、数学运算） 3.用向量法求空间距离——点线（线线）距离、点面（面面）距离．（直观想象、数 学运算） 学习目标 3 1.平面 外一点到平面 的距离，是点与平面内一点所成向量 的长度吗？ [答案] 不是，平面 外一点到平面 的距离是在平面 的法向量上投影的绝对值. 2.几何度量中最基本的距离是什么？ [答案] 两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离. 3.归纳求点到面的距离的方法. [答案] 求点到面的距离可以采用等积变换法或归结为解直角三角形或向量法求解. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若直线平面 ，则直线到平面 的距离就是直线上的点到平面 的距离. ( ) √ （2）若平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的 距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距离. ( ) √ 自主预习 5 2.已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线 的 距离为( ) . D A. B. C. D. [解析] 由已知得，因为直线的方向向量为，所以点到直线的距离为 . 自主预习 6 3.若平面 的一个法向量为，点，， ， ，则 点到平面 的距离为( ) . B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ，， ， ， 为平面 的一条斜线，且 ， 点到平面 的距离 . 自主预习 7 探究1 点到直线的距离 如图，在空间中任取一点，作， ，过点 作直线的垂线，垂足为 ，回答下列问题. 问题1： 向量在向量 上的投影向量是什么？ [答案] . 合作探究 8 问题2： 设与方向相同的单位向量为，则向量在向量 上的投影向量等于什么？ [答案] 投影向量，， . 问题3： 在上图中，怎样求线段 的长度？长度的表达式是什么？ [答案] 利用勾股定理， . 合作探究 9 新知生成 如图，直线的方向向量为，点为直线外一点，过点作直线 的垂线交于点，则即为点到直线 的距离. 设为直线上任意一点，则是在 上的投影向量，所以投 影长 . 于是，点到已知直线 的距离 . 合作探究 10 新知运用 例1 如图，正三棱柱中，各棱长均为4，是 的中点. 求点到直线 的距离. 方法指导 建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离. 合作探究 11 [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，,，， ， ， . 设点到直线的距离为 ，则 . 合作探究 求空间一点到直线 的距离的算法程序 合作探究 13 若在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线 的距离 是_ ___. [解析] 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 则，，0，，，所以，0， ， ， 合作探究 14 所以向量在方向上的投影向量的长度为 ， 所以点到直线 的距离 . 合作探究 15 探究2 点到平面的距离 点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长 度.特殊地，当点在平面内时，该点到平面的距离为0.如图， 平面 的法向量为，是平面 内的定点，是平面 外 问题1： 点到平面 的距离是哪一个线段的长度？ [答案] . 一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点 ，回答下列问题. 合作探究 16 问题2： 从向量投影的角度来看，点到平面 的距离又是什么？ [答案] 在直线上的投影向量 的长度. 问题3： 根据向量投影的定义，你能得出点到平面 的距离的表达式吗？ [答案] . 合作探究 17 新知生成 1.点到平面的距离 如图，在平面 内任取一点，作向量,设是平面 的法向量，则在法向量 上 的投影长即为点到平面 的距离 . 合作探究 18 2.求空间一点到平面 的距离的算法程序如图所示. 合作探究 19 新知运用 例2 如图，正三棱柱 （底面为正三角形，侧棱垂直 于底面）中，侧棱长，底面边长，是 的中点. （1）求证：平面 平面 . （2）求三棱锥 的高. 方法指导（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面 平面 ; （2）求出平面的法向量，利用向量法求出三棱锥 的高. 合作探究 20 [解析] （1）取的中点，的中点，连接， . 依据题意，以点为原点，，，所在的直线分别为,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0