2.4 课时4 向量与夹角课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 1 课时4 向量与夹角 2 1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面所成的角的定义.（直 观想象） 2.能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.（数学运算） 3.理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系.（逻辑推理） 学习目标 3 1.如何求两向量与的夹角 ？ [答案] 两向量与的夹角可利用公式 求解. 2.如何用向量方法解决两条异面直线之间的夹角问题？ [答案] 两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角. 3.如何求直线与平面所成的角？ [答案] 找（作）出直线与平面所成的角，解直角三角形；也可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解. 自主预习 4 4.求平面与平面所成的角有哪些方法？ [答案] （1）找（作）出两平面所成的角，解三角形求解；（2）可以转化为两平面的法向量的夹角求解. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( ) × （2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. ( ) × （3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. ( ) × （4）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为 . ( ) √ 自主预习 6 2.已知直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，则 直线与平面 所成角的余弦值为( ) . A A. B. C. D. [解析] 因为直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ， 所以, ， 则直线与平面 所成角 的正弦值, ， 故余弦值 . 自主预习 7 3.（多选题）已知在二面角 中，平面 的一个法向量为， ， ，平面 的一个法向量为，，，则二面角 的大小可能为 ( ) . AD A. B. C. D. [解析] 设所求二面角的大小为 ， 若 为锐二面角，则，解得 ； 若 为钝二面角，则，解得 . 综上所述，二面角 的大小为 或 . 自主预习 8 4.如图，在正方体中，，分别是， 的中点. （1）求证： . （2）求直线和 所成角的大小. [解析] （1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体 的棱长为2， 则，，，，， ， 自主预习 9 ， ， ， . （2）， ， ， ， 直线和所成角的大小为 . 自主预习 10 探究1 直线与直线的夹角 如图，这是一个正方体的平面展开图. 将该展开图还原成正方体，回答下列问题. 合作探究 11 问题1： 与 是异面直线吗？若是，则求出它们的夹角；若不是，请说明理由. [答案] 将展开图折成正方体，如图所示， 与是异面直线，它们的夹角为 . 问题2： 根据立体几何知识，我们怎样求两条异面直线， 的夹角？异面直线所成的 角的取值范围是什么？ [答案] 经过空间任一点分别作直线，，则把与 所成的角叫作异面直线 与所成的角（或夹角）.取值范围是 . 合作探究 12 问题3： 设直线，的夹角为 ，方向向量分别为，，那么夹角 与方向向量的夹 角， 之间的关系是怎样的？对应的余弦值表达式是什么？ [答案] 当 时，； 当 时，，. 余弦值表达式为， . 合作探究 13 新知生成 如图，设两条异面直线与 所成的角为 ，它们的方向向量分别是， ， 设与的夹角为 . 根据异面直线所成角的定义，可知 与 的关系是 对于上述两种情况，均有， . 合作探究 14 新知运用 例1 如图，在三棱柱中，平面 平面 ， ， ，且， ，求异 面直线与 所成角的余弦值. 方法指导 建立空间直角坐标系，写出点，，， 的坐标， 求向量，的坐标，计算，的大小，并转化为与 的夹角的余弦值. 合作探究 15 [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，， ， ， . ， . 异面直线与所成角的余弦值为 . 合作探究 16 1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化 为平面角，再利用解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可 以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可. 2.由于两异面直线的夹角 的取值范围是，，而两向量的夹角 的取值范围是 ，故应有 ，求解时要特别注意. 合作探究 17 如图所示，三棱柱是直三棱柱， ， 点，分别是，的中点，，求与 所成角的余弦值. 合作探究 18 [解析] 如图所示，以为原点，，，所在的直线分别为轴、 轴、