专题2.4.3 向量与夹角（高效培优讲义）（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.4.3 向量与夹角 教学目标 1.理解向量夹角的定义，掌握向量夹角与数量积的关系公式。 2.能用向量法求解直线与直线的夹角、直线与平面所成的角、两个平面所成的角（二面角）。 3.明确三类空间角的取值范围，能区分向量夹角与空间几何角的联系与区别。 4.能根据几何角的类型，选择合适的向量（方向向量、法向量）进行计算。 教学重难点 1.重点： （1）向量夹角的定义、数量积公式及其与三类空间角的对应关系。 （2）用向量法求直线与直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角的步骤。 （3）空间几何角与向量夹角的取值范围对应与转化方法。 2.难点： （1）理解向量夹角与三类空间几何角的区别，尤其是钝角向量夹角与锐角几何角的转化。 （2）如何根据几何角的类型，正确选取方向向量或法向量并判断符号。 （3）二面角中，根据法向量方向判断所求角是二面角本身还是其补角。 知识点01 直线与直线的夹角 【即学即练】（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）关于空间向量与立体几何，下列说法正确的是（   ） A．若向量是空间的一组基底，则也能作为空间的一组基底 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若两个平面的法向量分别为，则这两个平面平行或重合 D．若两条异面直线的方向向量分别为，则两直线所成角为 知识点02 直线与平面所成的角 【即学即练】（25-26高二上·广西百色·期末）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 知识点03 两个平面所成的角 1.二面角及其取值范围：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角。二面角的大小可用它的平面角度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，其取值范围一般约定为[0,π]. 2.两个平面所成的角： （1）定义及范围：个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，两个平面所成角的取值范围为[0,].当两个平面平行时，它们所成的角为0∘。 （2）两个平面所成的角的计算：设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记<n1,n2>=φ，则θ与φ有如下关系： 【即学即练】（25-26高二上·天津和平·期末）如图，四棱锥中，侧棱平面，四边形是矩形，，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 题型01 异面直线夹角的向量求法 【典例1】（25-26高二上·山东济宁·期末）如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）在直三棱柱中，已知，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知四棱锥，平面，，，，点为内部一点，，点为直线上一点，则直线与所成角的正弦值的最小值为 . 题型02 已知线线角求其它量 【典例2】（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【变式2-3】（25-26高二上·安徽阜阳·月考）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 题型03 共面直线夹角的向量求法 【典例3】（20-21高二下·浙江绍兴·期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·安徽安庆·一模）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·天津·月考）如图所示，正方体，求下列各组向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【变式3-3】（24-25高二上·江苏·月考）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示； (2)求； 题型04 线面角的向量求法 【典例4】（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：； (2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式4-1】（25-26高二上·江西吉安·期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【变式4-2】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为 . 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型05 已知线面角求其它量 【典例5】（25-26高二上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足． (1)证明：； (2)若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 【变式5-1】（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期末）如图，在三棱锥中，，平面平面． (1)若，证明：平面； (2)若，且直线与平面所成角为，求． 【变式5-3】（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，. (1)证明：； (2)若，求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为，求的值. 题型06 面面角的向量求法 【典例6】（2026高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角余弦值的取值范围. 【变式6-1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，．    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【变式6-2】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)证明：. (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式6-3】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 题型07 已知面面角求其它量 【典例7】（2017·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【变式7-1】（25-26高三上·山西·月考）已知三棱柱，平面平面，. (1)证明：平面平面； (2)若是边长为2的等边三角形，平面与平面所成角的正弦值为，求的长. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，平面. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【变式7-3】（25-26高二上·河南商丘·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．    (1)若， （ⅰ）证明：平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值． (2)若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 2.（25-26高二上·内蒙古·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·上海闵行·月考）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·期中）在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 6．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东潍坊·月考）如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广西玉林·期末）在平行六面体中，，分别是线段，上的点，且，，若，，则（   ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为90° 10．（25-26高三上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （    ） A．当时，直线与所成角的正弦值为 B．当时，直线与所成角的正弦值为 C．当时，平面与所成角的余弦值为 D．当时，平面与所成角的余弦值为 11．（24-25高二下·贵州遵义·月考）如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿DE折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（   ）    A． B．与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 三、填空题 12．（25-26高二上·天津河北·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为 . 13．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 14．（25-26高二上·天津和平·期末）正方体中，P为的中点，Q在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为线段的中点，为线段上一点. (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 16．（25-26高三上·安徽合肥·月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（25-26高二上·山东菏泽·月考）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且. (1)求平面与平面所成角的正弦值； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4.3 向量与夹角 教学目标 1.理解向量夹角的定义，掌握向量夹角与数量积的关系公式。 2.能用向量法求解直线与直线的夹角、直线与平面所成的角、两个平面所成的角（二面角）。 3.明确三类空间角的取值范围，能区分向量夹角与空间几何角的联系与区别。 4.能根据几何角的类型，选择合适的向量（方向向量、法向量）进行计算。 教学重难点 1.重点： （1）向量夹角的定义、数量积公式及其与三类空间角的对应关系。 （2）用向量法求直线与直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角的步骤。 （3）空间几何角与向量夹角的取值范围对应与转化方法。 2.难点： （1）理解向量夹角与三类空间几何角的区别，尤其是钝角向量夹角与锐角几何角的转化。 （2）如何根据几何角的类型，正确选取方向向量或法向量并判断符号。 （3）二面角中，根据法向量方向判断所求角是二面角本身还是其补角。 知识点01 直线与直线的夹角 【即学即练】（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）关于空间向量与立体几何，下列说法正确的是（   ） A．若向量是空间的一组基底，则也能作为空间的一组基底 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若两个平面的法向量分别为，则这两个平面平行或重合 D．若两条异面直线的方向向量分别为，则两直线所成角为 【答案】ACD 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据空间向量基本定理判断A；利用向量的数量积的坐标运算判断BD，根据向量共线定理判断C. 【详解】对于A，假设共面， 则存在唯一组实数，使得， 因为是空间的一组基底，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也能作为空间的一组基底，故A正确； 对于B，因为，，所以， 所以，所以或，故B错误； 对于C，所以， 所以这两个平面平行或重合，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为，所以，所以两直线所成角为，故D正确. 故选：ACD. 知识点02 直线与平面所成的角 【即学即练】（25-26高二上·广西百色·期末）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直定理证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的法向量，再根据数量积公式求解即可. 【详解】（1）证明：因为，所以, 因为平面，平面，所以， 因为，且平面 平面 （2）如图所示建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，得， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 知识点03 两个平面所成的角 1.二面角及其取值范围：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角。二面角的大小可用它的平面角度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，其取值范围一般约定为[0,π]. 2.两个平面所成的角： （1）定义及范围：个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，两个平面所成角的取值范围为[0,].当两个平面平行时，它们所成的角为0∘。 （2）两个平面所成的角的计算：设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记<n1,n2>=φ，则θ与φ有如下关系： 【即学即练】（25-26高二上·天津和平·期末）如图，四棱锥中，侧棱平面，四边形是矩形，，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以A为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由与平面的法向量垂直可证； （2）在（1）的坐标系下，根据两平面夹角的向量求法可求. 【详解】（1）因为侧棱平面，， 所以以A为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由M，N是中点，故，. 设平面的法向量为，易知，， 则，令，则， 因为，则，所以， 又因为平面，故平面得证. （2）设平面的法向量为， 易知，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值等于. 题型01 异面直线夹角的向量求法 【典例1】（25-26高二上·山东济宁·期末）如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系,由异面直线所成角的空间向量进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设所求的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、求空间图形上的点的坐标 【分析】以为原点建系，由向量法求两直线所成角的余弦值，再由平方关系求正弦值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则， 所以， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）在直三棱柱中，已知，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，，设， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 所以，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知四棱锥，平面，，，，点为内部一点，，点为直线上一点，则直线与所成角的正弦值的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为原点建系，根据，求出点坐标，再利用以及等体积思想求出，设，计算即可求出范围. 【详解】因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 则以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则， 因为为内部一点， 所以存在实数使得， 且，， 则， 因为， ， ， 所以，则，则，则， 因为，，所以， 因为点为直线上一点，所以设， 则， 则， 则 ， 因为，所以， 则直线与所成角的余弦值的最大值为， 故直线与所成角的正弦值的最小值为. 故答案为： 题型02 已知线线角求其它量 【典例2】（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知线线角求其他量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知线线角求其他量、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】1 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 【变式2-3】（25-26高二上·安徽阜阳·月考）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 【答案】/ 【知识点】已知线线角求其他量、线面垂直证明线线垂直 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 题型03 共面直线夹角的向量求法 【典例3】（20-21高二下·浙江绍兴·期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】共面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，    则，，， 设(0 ≤ λ ≤ 1)得：， ， ， 由， ∴，则. 故选：C. 【变式3-1】（2023·安徽安庆·一模）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用、共面直线夹角的向量求法 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·天津·月考）如图所示，正方体，求下列各组向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【答案】(1)45° (2)135° (3)90° (4) 【知识点】共面直线夹角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）在正方体中，与的夹角等价于与的夹角，由正方体的性质，即可得答案. （2）与的夹角等价于与夹角的补角，分析即可得答案. （3）由正方体的性质得，分析即可得答案. （4）根据相反向量，分析即可得答案. 【详解】（1）在正方体中，因为， 所以与的夹角等价于与的夹角,即为， 再由正方体性质得夹角为，即与夹角为； （2）因为与互为相反向量， 所以与的夹角等价于与夹角的补角， 所以与夹角为； （3）由正方体性质得，平面， 所以，所以与的夹角为； （4）由正方体性质得，与互为相反向量， 所以与夹角为. 【变式3-3】（24-25高二上·江苏·月考）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示； (2)求； 【答案】(1) (2) 【知识点】共面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量、求空间向量的数量积 【分析】（1）利用空间向量基本定理求解可得答案； （2）用向量法计算，再由利用空间向量的夹角公式求解可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，所以 ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以. 题型04 线面角的向量求法 【典例4】（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：； (2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间垂直的转化、线面角的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，进而根据菱形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解. 【详解】（1）证明：取中点，连接． 由得，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又，所以四边形是菱形，从而． 又，所以平面． 又平面，所以． （2）取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 所以三棱台的高． 设，则，， 从而，解得． 以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 设平面的法向量， 则即令，则， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为．    【变式4-1】（25-26高二上·江西吉安·期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【详解】设直线的方向向量为， 由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即且，不妨取 所以，. 则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. （2）在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为.    题型05 已知线面角求其它量 【典例5】（25-26高二上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足． (1)证明：； (2)若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 平面，故 （2）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ， 由于直线BE与平面PAC所成角的正弦值为， ∴，解得或（舍去）, 故 【变式5-1】（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【知识点】线面平行的性质、已知线面角求其他量、证明线面平行 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    【变式5-2】（25-26高二上·广东·期末）如图，在三棱锥中，，平面平面． (1)若，证明：平面； (2)若，且直线与平面所成角为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、空间垂直的转化、已知线面角求其他量、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理得，取中点，连接，结合面面、线面垂直的性质定理得，最后应用线面垂直的判定证结论； （2）法一：构建合适的空间直角坐标系，设，并标注相关点坐标，应用向量法求线面角，结合已知列方程求参数，即可得；法二：应用几何法，过作于，过作于，连接，证得，记，利用等体积法求得，记，结合射影定理求参数，即可得. 【详解】（1）由，平面， 则平面，平面，则， 取中点，连接，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 由，平面，则平面； （2）法一：以中点为原点，方向为轴和轴，建立如图所示坐标系． 设，则，其中， 故， 记平面的法向量为，则，即， 令，所以， 因为直线与平面所成角为，则， 化简得，又，解得， 此时，又，故； 法二：过作于，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 而，平面，则平面， 由平面，所以， 记，利用等体积法， 则，则， 记，则，又， 利用直角三角形射影定理，则，解得， 则，故. 【变式5-3】（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，. (1)证明：； (2)若，求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】已知线面角求其他量、线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据直三棱柱的定义，把三棱柱补形成长方体，利用异面直线所成的角的定义、余弦定理进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； 【详解】（1）∵平面平面ABCD，平面平面， 平面EAD，又平面EAD， . （2）由（1）可知多面体ABCDEF为直三棱柱，作，. 当时，点和点重合， 如图将三棱柱补形成长方体，连， 即为直线BD和直线CE的夹角或其补角. 由题意可得：， ， 综上，直线BD和直线CE夹角的余弦值为. （3）∵平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，如图，以点为原点建立空间直角坐标系. 设，则， 由可得：， ，另外，设平面BCP的一个法向量为，结合， ，也即，取，则有， 结合，设直线BD和平面BCP所成角为， 则， 化简得：，可解得：（舍去）或. 综上，．             题型06 面面角的向量求法 【典例6】（2026高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点为，连接，，通过证明平面，得到 ，再结合面面垂直、线面垂直的性质即可得证； （2）解法一：建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解； 解法二：同法一求得，，平移向量和，使得二者的起点都为坐标原点，结合空间直角坐标系可得，再结合，求解范围即可. 【详解】（1）记的中点为，的中点为，连接，. 由题意，，，因而，. 而为中点，为中点，，故，进而. 又，，平面，所以平面， 而平面，则.   考虑到，则直线与直线相交，设这个交点为. 因为，，平面，所以平面. 又平面，因而平面平面. （2）在平面内，过点作直线垂直于. 由平面，且，平面， 得，，而， 则以为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，并且设， 则，可得，，，. 且，则. 则，，. 设平面的法向量为，则，即. 令，解得，则. 设平面的法向量为，则，即. 令，解得，则. 则平面和夹角余弦值为.   且，则，则， 所以平面和平面夹角余弦值的取值范围是. 方法二：前同方法一. ，，下面来探究和的夹角余弦值.    如图所示，平移向量和，使得二者的起点都为坐标原点， 取上一点，过点作轴，垂足为，过点作与所在的直线垂直，垂足为.   则，， 且，则平面，进而. 而 ， 且，，则. 则； 所以平面和平面夹角余弦值的取值范围是. 【变式6-1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，．    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）连接，如下图所示，    由于是直三棱柱，易知， 又因为，且，平面， 所以平面. 因M、N分别是的中点，所以，因此平面； 又平面，所以； 易知，所以， 满足，由勾股定理可知，， 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以，. （2）由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    易得， ； 设平面的一个法向量为， 则，令得， 即平面的一个法向量为， 易知，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角（锐角）为， 则，                                                                                                               所以，平面与平面所成角的余弦值为. 【变式6-2】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)证明：. (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直性质并结合勾股定理可证明平面，即可得出结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接， 因为，，，，所以，. 又，所以. 因为平面，所以， 因为，所以平面. 因为平面， 所以. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的法向量为， 则取，则，， 所以平面的一个法向量可以为， 显然是平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式6-3】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、空间垂直的转化、面面角的向量求法 【分析】（1）连接，推导出平面，可得出，再证明出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）连接，因为是边长为的等边三角形，是线段的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形为平行四边形，， 所以四边形为菱形，故， 因为、分别是线段、的中点，所以，则，         因为，、平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以为等边三角形， 因为是线段的中点，故， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 设， ，， 由（1）知，平面，故平面的一个法向量为，     设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 令，因为，所以， 则， 因为，所以，所以， 则， 故， 即平面与平面夹角的余弦值取值范围为． 题型07 已知面面角求其它量 【典例7】（2017·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点M即中点 【知识点】空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法 【分析】（1）作平面，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系， 分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解即可； （2）设，利用线面平行的向量判定法求解即可. 【详解】（1）因为平面平面ABCD，平面平面， ，平面，所以平面， 在平面内，过点作，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ， 由图可知，二面角的余弦值为. （2）因为，设 则， 由（2）知平面的法向量为 若平面，则有，解得， 所以线段上存在点，使得平面，点即中点. 【变式7-1】（25-26高三上·山西·月考）已知三棱柱，平面平面，. (1)证明：平面平面； (2)若是边长为2的等边三角形，平面与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，由面面垂直的性质得出平面，可得出，由已知条件得出，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出的长. 【详解】（1）证明：过点作交于点O， 平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ，三棱柱中， ，又， 平面， 平面ABC，∴平面平面． （2）因为是边长为的等边三角形，则为的中点，且， 因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，可得， 设平面与平面所成角为，则， 所以， 又因为，解得，故. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，平面. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、已知面面角求其他量 【分析】（1）建系得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）设，先求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式计算求解参数. 【详解】（1）由题意，以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 则， 设，则， 由题意可知，平面ADE的法向量为， 因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2）由题可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 由题意可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以线段的长为. 【变式7-3】（25-26高二上·河南商丘·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．    (1)若， （ⅰ）证明：平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值． (2)若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【知识点】已知面面角求其他量、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）（ⅰ）取CD的中点O，利用面面垂直的性质定理得出平面ABCD，再以为原点建系，得出平面PCD的一个法向量，根据证明； （ⅱ）计算平面的法向量，求出即可； （2）设，求出平面CMQ的法向量与平面PCD的一个法向量，再利用求出，计算即可. 【详解】（1）取CD的中点O，连接PO， 因为，所以， 因为，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD， 以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 因为，所以Q为PB的中点，所以，所以， （ⅰ）易知平面PCD的一个法向量为， 则，即， 因为平面PCD，所以平面PCD； （ⅱ）由上面分析得，，设平面的法向量为， 由，得，取，则． 则， 故直线CD与平面所成角的正弦值为． （2）由上可知，，，， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 又知平面PCD的一个法向量为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以，则，所以， 故的长度为． 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 2.（25-26高二上·内蒙古·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的三角函数值. 【详解】因为为的中点，所以. 如图：以为原点，OC，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 因为为线段SB的一点，且，所以， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则. 故选：B 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、面面角的向量求法 【分析】根据题意可知，结合数量积运算可得，即可得面面夹角. 【详解】由题意可知：，， 因为， 则， 即，解得， 且，则， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 4.（24-25高二下·上海闵行·月考）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，根据两向量的夹角公式，得到，即可求解． 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、， 设，其中， 则，， 由已知可得，则， 因为，故的取值为、、、， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为， 故选：B 5．（24-25高二上·北京·期中）在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解. 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 6．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 故选：A． 7．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】在直三棱柱中，可得平面， 因为，所以， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 因为E为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 故，设与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：D 8．（25-26高二上·山东潍坊·月考）如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、线面角的向量求法 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到的坐标及平面的法向量，根据向量的数量积可得向量夹角的余弦值，进而得结果. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以， 设和平面所成角为， 则，即和平面所成角的正弦值为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·广西玉林·期末）在平行六面体中，，分别是线段，上的点，且，，若，，则（   ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为90° 【答案】BCD 【知识点】异面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用 【分析】以为基底，利用空间向量夹角的定义判断A；利用空间向量线性运算求解判断B；利用空间向量数量积运算律求出模长及夹角判断CD. 【详解】在平行六面体中，由， 得该平行六面体底面是边长为1的正方形，且， 对于A，由，得，A错误； 对于B，由，得 ，B正确； 对于C，，， 则 ，C正确； 对于D，，又 ，则，即， 因此直线与所成的角为，D正确. 故选：BCD 10．（25-26高三上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （    ） A．当时，直线与所成角的正弦值为 B．当时，直线与所成角的正弦值为 C．当时，平面与所成角的余弦值为 D．当时，平面与所成角的余弦值为 【答案】AC 【知识点】面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角公式即可结合选项逐一求解. 【详解】不妨设，直线与所成角为，平面与的夹角为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量，则，即， 令，则， 当时，由得，故，， 设的法向量，则，即， 令，则，， ，故AC正确； 当时，,则，故，， 设的法向量，则，即， 令，则， ,，故BD错误， 故选：AC. 11．（24-25高二下·贵州遵义·月考）如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿DE折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（   ）    A． B．与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】BC 【知识点】面面角的向量求法、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，利用向量的数量积、向量夹角的余弦公式逐项计算异面直线是否垂直、线面角、异面直线的夹角的余弦值以及二面角的余弦值. 【详解】因为，，所以， 所以，将沿DE折起，折叠后点的对应点为， 所以，又平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以两两垂直， 所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以. 所以，所以， 所以不垂直，A错误； ，所以与所成角的余弦值为 ,B正确； 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 而，所以直线与平面所成角的正弦值为 ，C正确； 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 所以，所以二面角的余弦值的绝对值为 ，D错误. 故选：BC.    三、填空题 12．（25-26高二上·天津河北·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为 . 【答案】/ 【知识点】面面角的向量求法 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接求解即可. 【详解】设平面与平面所成角为， 由平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角为， 故答案为：. 13．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、已知线线角求其他量 【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 14．（25-26高二上·天津和平·期末）正方体中，P为的中点，Q在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【知识点】线面角的向量求法、求线面角 【分析】先通过建立空间直角坐标系，利用向量法来求解直线 与平面 所成角的正弦值，再求出平面 的法向量以及直线 的方向向量，最后根据线面角与向量夹角的关系进行计算即可. 【详解】   设正方体的棱长为3，以 为原点，分别以 ，， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面 的法向量为 ， 所以且， 即，解得 ，则， 令 ，则平面 的一个法向量为， 所以， 设直线 与平面 所成角为 ， 因为， ，， 所以. 故直线 与平面 所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为线段的中点，为线段上一点. (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析； (2)2. 【知识点】已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据给定条件，面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. （2）利用直角梯形的特征求出，取线段的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，设出点的坐标，再利用线面夹角的向量求法列式求解. 【详解】（1）由为等边三角形，F为线段的中点，得， 由平面平面ABCD，平面平面，平面， 得平面ABCD，又平面，所以. （2）过作，垂足为，依题意，为矩形， ，由（1）知平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，，由，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由E为线段PF上一点，设， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 依题意，，整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 16．（25-26高三上·安徽合肥·月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知线面角求其他量、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，即可得平面，进而可证线线垂直； （2）建系标点，求平面的法向量，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则平面， 且，所以， 因为，平面 可得平面，且平面， 所以. （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，    则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 17．（25-26高二上·山东菏泽·月考）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且. (1)求平面与平面所成角的正弦值； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，2 【知识点】面面角的向量求法、求平面的法向量、求空间图形上的点的坐标、证明线面平行 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的数量积运算即可求结论； （2）假设存在，且，由此求得，再由平面得，从而求得，由此可得的值. 【详解】（1） 以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则由平面几何知识易知，，， 所以，，，，， 则，， 因为，所以， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，故， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，则， 即为面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 因为； ； 所以 所以， 所以面与平面所成角的正弦值为. （2）假设上存在点E满足题意，不妨设，， 则， 因为平面，所以，即，故， 所以，所以， 故上存在一点，的值为2. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $