第四章因式分解拓展的常用方法精讲解析2023-2024学年北师大版数学八年级下册

初中八年级数学因式分解拓展的常用方法精讲解析   【知识目标】   以下几种方法是因式分解中最常用的：   1.拆项、添项   将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使其便于用分组分解法进行分解因式。   2.换元法分解因式   使用换元法分解因式的关键是确定代换的对象。若选择得当，可使复杂的问题变得简单，看上去无法解答的问题变得易于解答。   3.配方法在因式分解中的应用   在代数式中，利用添项的方法，给原多项式配上适当的部分，使添项的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫作配方法。应用配方法进行因式分解，常能将多项式配成A2-B2的形式，使多项式可用平方差公式分解为（A+B)(A-B)的形式．   4.双十字相乘法   对于某些二元二次六项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f,可以看作关于x的二次三项式ax2+(by+d)x+cy2+ey+f.先用十字相乘法将“常数项”cy2+ey+f分解为（g1y+h1)(g2y+h2),再次利用十字相乘法将关于x的二次三项式分解．       5.求根法   设关于x的一元多项式为f(x),若能猜出方程f(x)=0的一个根a,则x-a是f(x)的一个因式，利用多项式除法可将f(x)降次，然后再分解。   6.待定系数法分解因式   如果两个多项式恒等，那么它们的次数和同次项的系数都相同，并且任何数值代替其中的字母，这两个多项式的值总相等，反过来也是对的。这一显而易见的事实，正是使用待定系数法分解因式的出发点。   因式分解中利用待定系数法的主要步骤是：   （1)根据题意，设出含待定系数的恒等式；   （2)根据同类项系数对应相等得出待定系数的方程（组）；   （3)解出待定系数；   （4)给出答案．   7.轮换对称多项式的分解方法   如果把代数式中任意两个字母对换后，代数式保持不变，就称这样的代数式为对称代数式，简称对称式．例如x+y+z,a3+b3+c3-3abc等都是对称式；但x-2y,a+b-c就不是对称式。   如果把代数式中所含字母顺次轮换后，代数式保持不变，就称这样的代数式为轮换对称代数式，简称轮换式．例如在a2b+b2c+c2a中，将a用b换，b用c换，c用a换，所得的代数式b2a+c2a+a2b与原代数式相同，所以a2b+b2c+c2a是关于a,b,c的轮换式，但不是对称式。由对称式的定义知，对称多项式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。如果一个多项式所有的项的次数都相同，称这样的多项式为齐次多项式。     【讨论】若轮换式中含有某种形式的式子，则必定含有这种形式的同型式。例如，关于x,y,z的二次齐次对称式中含有ax2项，则必含有ay2,az2项；若含有bxy项，则一定含有byz,bxz项。如此可知，关于x,y的齐次对称式（a,b是系数）的一般形式是：   一次－－a(x+y);   二次－－a(x2+y2)+bxy;   三次－－a(x3+y3)+b(x2y+xy2).   关于x,y,z的齐次对称式（a,b,c是系数）的一般形式是：   一次－－a(x+y+z);   二次－－a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+xz) ;   三次－－a(x3+y3+z3)+b(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y)+cxyz.   对于轮换多项式的因式分解，常用的方法是选定一个字母作主元，将其余字母看作常数，把原式看成这个主元的多项式，然后利用因式定理确定它的因式，再利用轮换式的性质，确定出几个相应的因式，还可以结合待定系数法求出其他的因式。 【例题精讲】 【例1】分解因式：a5+a+1. 解：原式＝a5-a2+a2+a+1(将“0”拆成－a2和＋a2两项）     ＝a2(a3-1)+(a2+a+1)(前两项提公因式a2)     ＝a2(a-1)(a2+a+1)+(a2+a+1)(用立方差公式）     ＝（a2+a+1)(a3-a2+1)(提公因式a2+a+1).                【例2】已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，求n的值． 解：原式＝n4+20n2+100-36n2(将－16n2拆成＋20n2和－36n2两项）     ＝（n+10)2-36n2(前三项用两数和的平方公式）     ＝（n2+6n+10)(n2-6n+10)(用平方差公式）．   因为n4-16n2+100为质数，且n是正整数，   因为n2+6n+10≠1,   所以n2-6n+10=1,   即（n-3)2=0,   所以n=3.            【例3】分解因式：（x2+5x+2)(x2+5x+3)-12. 解：将x2+5x看作一个整体，用换元法，     设x2+5x=y,