重庆市南开中学2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题（3月31日）

重庆南开中学校高2026级数学测试3.31， 一、进择题：本思共8小恩，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项是符合愿目 婴求的。 1,若复数x=3-24,则z的实部与虚部的和为) A.-1 B.1 C.5 D.-5 2.在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“coa2A>cos2B”是“a<b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 3.已知向量，6满足云.了=10，且万=(4，-3)，则云在6上的投影向量为) A.(8.-6) B.(-8,6) c(-9 D. 4.在复平面内，复数：=8十组对应的点位于(） 7-i A第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.碧津塔是老名景点·某同学为了测量碧津塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿 AC方向前进24.4米到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么碧津塔高约 为(3≈17.2≈1.40() A.37.54 B.38.23 C.39.53 D.40.52 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,G,若 十+在6≥1，则角A的取值充图() b A0, B.(0.] c后 D.写刊 7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：c=c0sz+i山x,其中c是自然对数的底数，i是虚数 单位，该公式被称为欧拉公式。根据欧拉公式，下列选项正确的是() A.eri=1 B.-0∈网的最大值为9 C.复数产在复平面内对应的点位于第二象限 D.若1==”在复平面内分别对应点乙，，则△0Z面积的最大值为 2 第1页 器®金艇 8.在锐角△BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若06D+9ogC_23n4 3sin C. cosB+V原inB=2,则a+c的取值范图是() 人( B侵可 n.B同 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9.已知复数4，边，下列结论正确的有(1 A.+五=写+写 B.若2=0，则1■=0 C.Iazal=Iallzal D子= 10.对在意两个非学向量a,6,定义新运算：a·石-已妇非零向盖品，满足>3引。且向 量元，的夹角0∈低，，若4元◆)和4匠，而都是整数，则元率开的值可能是（) A.2 B号 C.3 D.4 IL.在△ABC中，D,B为线段BC上的两点，且BD=DB=EC=1,下列结论正确的是( AAB.AC≥AD.A尼 B:若2+D2=A正2+Ad,则=A C.若D正=2，则△ABC为直角三角形. D,若B西=D=1,∠BAD=∠EAC=君，则△ABC的面积是 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=8,b=6,c=4,则中线AD的长 为一 13.已知是应数，+是实数，z是虚数x的共锅复数，则但-+z+的最小值是一 A已知△ADC的三个内角A,B,C的对边分别为0，b,G,且满足二+g-0,则 sin2B.tan2C的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 计算：(-6+2+(7+"4-3对②)5+0 i2+) 第2页 器®金艇 16(15分)如国，在直角△MBC中，∠ACB=分，4C=3,BC=2,P是△MBC内一点 ()若P是等婴直角△PBC的直角顶点，求PA的长！ 2)若∠BPC=2,设∠PCB=9,求△PBC面积∫O)解析式，并求了O)的最大做. 17。(15分)7.如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A,B,C,D四个点， 使得AD=2V2BC,测得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°， ()若B,D速在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且 BD=10V反km,CD=20kn,求A,C两点间距离： (2)求nm∠BDC的值. 第3页 签®全E 18(17分)在平面四边形ABCD中，点B,D在直AC的两侧，AB=3,BC=B,四个内角分别用 么B,CD表示，Be-6wD-} ()求∠BAC: D (②)求△BD与△ACD的面积之和的最大值， 19.(I7分)在R△MBC中，内角么品C的对边分别为am山a已知0s4.sB+cosC btc (1)求角4 (2)己知c*2b,a=2N5,点P,2是边4C上的两个动点(P,2不皿合)，记∠PB0=8. ①当9=爱时，设aP82的面积为S,求S的最小值： ②记∠BPQ=a,∠B0P=P.问：是否存在实常数0和k对于所有满足题意的c,P,都有 s加2a+s如20+k=4ksi加asi血B成立？若存在，求出0和k的值：若不存在，说明理