2024年中考数学二轮复习学案--与圆有关的动态问题

专题5 与圆有关的动态问题 解读： 圆中的动态问题，通常以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探究点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系.解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径. 解决这类问题常常用到分类讨论、数形结合、方程与函数等数学思想方法. 培优学案 典例示范 例1 如图1-5-1,扇形OAB 的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C 是 上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB 于点E,连接DE,点G,H在线段DE上,且DG=GH=HE. 求证： 是定值. 【提示】题中半径不变，DG，GH 和HE 之间的等量关系不变，可过点 H 作HF⊥CD 于点F，构造相似三角形，应用相似三角形的性质及勾股定理等知识用CD²来表示CH². 【解答】 眼踪训练 如图1-5-2,A,B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P 不与A,B重合),我们称∠APB 为⊙O上关 于A，B的滑动角. (1)已知∠APB是⊙O上关于点A,B的滑动角. ①若AB为⊙O的直径,则∠APB= ; ②若⊙O半径为1, 求∠APB 的度数; (2)已知O₂为⊙O₁外一点,以O₂为圆心作一个圆与⊙O₁相交于 A,B 两点, 为⊙O₁上关于点 A,B的滑动角,直线 PA,PB 分别交⊙O₂于点 M,N(点M与点A,点N与点B 均不重合),连接AN,试探索∠APB 与∠MAN,∠ANB 之间的数量关系. 【提示】(1)①根据直径所对的圆周角等于 90°即可得. ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P 在优弧AB上，点 P 在劣弧 上两种情况讨论即可； (2)根据点 P 在⊙O₁上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN，∠ANB之间的数量关系. 【解答】 例2 如图1-5-3,正方形 ABCD的边长为1,点E为BC边上一动点,以AE 为直径作⊙O. (1)设BE=x，⊙O的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当 BE为何值时,⊙O与CD 相切; (3)在(2)的条件下，切点 F在CD 边上的位置如何，并加以证明. 【解答】 跟踪训练 如图1-5-4,以M(-5,0)为圆心,4为半径的圆与x轴交于A,B两点,P 是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E,F,则EF的长 ( ) A.为 B.为4 C.为6 D.随P 点位置的变化而变化 例3 如图1-5-5,已知点A(6 ,0),B(0,6),经过A,B的直线l以每秒1个单位长度的速度向下做匀速平移运动，与此同时，点 P 从点B 出发，在直线l上以每秒1个单位长度的速度沿直线l向右下方向做匀速运动.设它们运动的时间为t秒. (1)用含 t的代数式表示点P 的坐标； (2)过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥x轴于D,问:t为何值时,以P 为圆心，1 为半径的圆与直线 OC 相切? 并说明此时⊙P 与直线CD 的位置关系. 【提示】(1)求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离，因此需过点P 作x轴和y轴的垂线，然后探索运动过程中点 P 的运动情况； (2)探索⊙P与直线CD 的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系，分⊙P在左侧与直线OC 相切和⊙P 在右侧与直线OC 相切两种情况讨论即可. 【解答】 跟踪训练 如图1-5-6，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的 中, BC=12cm.半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D，E 始终在直线BC上.设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8cm. (1)当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切? (2)当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE 围成的区域与 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积. 【解答】 例4 如图1-5-7，已知点A 从(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A 为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且∠AOC=60°,以 P(0,3)为圆心,PC为半径作圆.设点 A 运动了t秒,求: (1)点C的坐标(用含 t的代数式表示)； (2)当