2024年中考数学一轮复习学案--从对称的角度来解决圆的问题

专题 2 从对称的角度来解决圆的问题 知识解读： 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”圆的美体现在它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且绕圆心旋转任意的角度都能与自身重合.由圆的对称性研究了很多重要的定理：同圆或等圆的半径相等；垂径定理及其推论；同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理等.这些性质在证明或计算时往往通过构造直角三角形，使其三边分别为“弦长的一半，圆的半径，圆心到弦的距离”，常与勾股定理相结合.巧用圆的对称性能妙解许多问题，可使解题方法更灵活，思想更丰富，叙述更简洁，答案更完整. 培优学案 典例示范 例1 P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，则过点 P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 条.【提示】过点 P的最长弦是直径AB，最短的弦是与OP垂直的弦CD. 跟踪训练》 1.已知⊙O的直径AB=10cm,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为M,且CD=8cm,则AC的长为 cm. 【提示】如图 1-2-1，根据圆的对称性，符合条件的弦CD 应该有两条.连接OC，通过解 Rt△CMO 和Rt△ACM使问题获解. 2.如图1-2-2,MN是半径为1的⊙O 的直径,点 A 在⊙O上,∠AMN=30°,B 为劣弧 的中点，P 是直径MN 上一动点,则 PA+PB的最小值为 . 【提示】可以根据圆的轴对称性作出点A 或点B 关于MN 的对称点，然后确定当PA+PB 有最小值时点P的位置. 例2 如图1-2-3,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是AB的中点,连接PA,PB,PC. (1)如图①,若∠BPC=60°,求证: (2)如图②,若 ,求 tan∠PAB 的值. 【提示】(1)证明△APC是含30°角的直角三角形; (2)将∠PAB 转化为∠PCB. 【解答】 跟踪训练 已知⊙O的直径为10,点A,B,C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D. (1)如图1-2-4①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长; (2)如图1-2-4②,若∠CAB=60°,求 BD的长. 【提示】(1)利用直径所对的圆周角为直角这一性质，将待求的线段放置于直角三角形中求解； (2)利用同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，将待求的线段放置于等边三角形中求解. 【解答】 例3 如图1-2-5，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦 AB 的取值范围是 . 【提示】抓住两个关键点：①当弦AB与小圆相切时最短；②当弦AB过圆心O时最长. 眼踪训练 1.如图1-2-6,在半径为5 的圆O中,AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P,且AB=CD=8,则OP 的长为 ( ) A.3 B.4 C.3 D.4 2.如图1-2-7,在半径为 5 的⊙A 中,弦 BC,ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知 DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦 BC 的弦心距等于 ( ) C.4 D.3 3.如图1-2-8,在半径为6cm的⊙O中,C,D为直径AB 的三等分点,点E,F 分别在AB 两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE,BF,则图中两个阴影部分的面积和为 cm². 【提示】延长EC交⊙O于点G，连接AG.根据条件和圆的轴对称性，要求的阴影部分的面积和等于△AEG的面积，只要求出△AEG的面积即可. 例 4 如图1-2-9,在半径为2 的扇形 AOB 中,∠AOB=90°,点C 是. 上的一个动点(不与点A，B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为 D,E. (1)当BC=1时,求线段OD的长; (2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边? 如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； (3)设 BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【提示】(1)在△DOB 中运用垂径定理和勾股定理求解；(2)不难发现，D，E是中点，联想三角形的中位线定理， 不变；(3)选择OE 作为底，作出OE 边上的高，设法将△DOE的底和高用x表示出来. 【解答】 跟踪训练 如图1-2-10,等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A,B 两点,⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂,点A 在x轴的正半轴上,