2024年中考数学二轮复习学案--利用直线与圆的位置关系 解题

专题 4 利用直线与圆的位置关系解题 知识解读： 1.直线和圆的位置关系： 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d. (1)直线与圆相交⇔0≤d<r. (2)直线与圆相切⇔d=r. (3)直线与圆相离⇔d>r. 2.圆的切线： (1)一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. (2)两种判定：①若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；②经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”： --“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点； 二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断； 三“证明”：证明直线是否经过半径的外端，并且与该半径是否垂直. 切线的判定，添加辅助线是难点，通常从以下两个角度考虑： ①若所要证明的切线与圆有公共点，这时连接公共点和圆心，证明与半径垂直； ②若题干中没有交代所要证明的切线与圆有公共点，这时过圆心向该直线作垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径.简单地记为“有点连半径，证垂直；无点作垂直，证半径”. (4)四条性质: ①圆心到切线的距离等于圆的半径； ②圆的切线垂直于过切点的半径； ③经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点； ④经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心. 应用切线的性质解题，经常需要“连接圆心和切点”，把相切转化为垂直，再把垂直转化为直角来解决问题. 培优学案 典例示范 例 1 如图1-4-1,⊙O的半径为6,射线 PM经过点O,OP=10cm,射线 PN与⊙O相切于点Q. A,B 两点同时从点 P 出发,点 A 以 5cm/s的速度沿射线 PM方向运动，点B 以4cm/s的速度沿射线 PN方向运动，设运动时间为ts. (1)求 PQ的长; (2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切? 【提示】(1)连接OQ; (2)先罗列两要素：半径r，圆心到直线的距离d；再分类列方程；最后解方程、检验.一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图. 【解答】 眼标训练 如图1-4-2,已知射线 DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点 E(0,4).动点C 从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动.设运动时间为t秒.以点C为圆心， 个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，连接PA，PB.当⊙C与射线DE 有公共点时，求t的取值范围. 【提示】读懂题意，抽丝剥茧，读者可思考三个问题：①⊙C的半径怎样变化? ②⊙C 在运动的过程中，什么时间开始与射线 DE有公共点? 什么时间结束与射线DE 有公共点? ③研究⊙C 与射线DE 的公共点，与点 P 有关系吗? 显然，当A，D重合时，⊙C与射线DE 开始有公共点；当⊙C 与射线DE相切之后，就结束与射线DE 有公共点.⊙C 与射线DE 相切的图形你会画吗? 怎样求⊙C 与射线DE 相切时对应的t的值呢? 【解答】 例2 如图1-4-3,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D. (1)求证:AC平分∠DAB; (2)若E为AB的中点, 求 AB 和CE 的长. 【提示】“遇到切点连圆心”，这是应用切线的性质解题时常用的策略.对于(1)，先利用圆的切线性质得OC⊥CD，再利用AD⊥CD，即得OC∥AD，然后根据平行线的判定及性质得到∠DAC=∠ACO,又∠OAC=∠ACO,故∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;对于(2),先根据△ADC∽△ACB,得到 AB=10,再利用点E 为 的中点及过点A 作CE 的垂线AF，利用三角函数的相关知识分别得到CF，EF的长，相加即得CE的长.. 【解答】 跟踪训练 如图1-4-4,AB 为⊙O的直径,BF切⊙O于点B,AF交⊙O于点D,点C 在 DF 上,BC交⊙O于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF 于点G,连接AE. (1)直接写出AE 与BC 的位置关系; (2)求证:△BCG∽△ACE; (3)若∠F=60°,GF=1,求⊙O的半径. 【提示】解题的关键是根据圆的性质寻找三角形相似的条件，根据相似三角形解决相应问题。 【解答】 例3 如图1-4-5 是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮回杆 OA，OB，OC抽象为线段,有OA=OB=OC,且∠AOB=120°,折线 NG—GH—HE—EF 表示楼梯,GH,EF 是水平线,NG,HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B 与楼梯两边都相切，且AO∥GH. (1)如图1-4-6①,若点 H 在线段OB 上,求 的值； (2)如图1-4-