2024年中考数学复习培优学案 发掘题目中的隐圆来解题

专题1 发掘题目中的隐圆来解题 知识解读 在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种： ①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上； ③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为对角互补，四点共圆； ④若两个三角形有一条公共边，且这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆.简记为同旁张等角，四点共圆. 培优学案 典例示范 例1 将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段 AC，继续旋转( 得到线段 AD,连接CD. (1)连接BD. ①如图1-1-1①,若α=80°,则∠BDC的度数为 ; ②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变? 若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由. (2)如图1-1-1②,以AB为斜边作 Rt△ABE,使得∠B=∠ACD,连接CE,DE.若∠CED=90°,求α的值. 【提示】(1)①∠BDC=∠ADC-∠ADB,利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为 30°; ②由题意知，AB=AC=AD，则点B，C，D在以A 为圆心，AB为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为 30°； (2)过点A 作AM⊥CD 于点M,连接EM,证明“点A,C,D在以M为圆心,MC为半径的圆上”. 【解答】 跟踪训练 如图1-1-2,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点 F 在边CD 上.若∠EAF=60°,求证:△AEF 是等边三角形. 【提示】不难发现 ,所以点A,E,C,F共圆,再利用“同弧所对的圆周角相等”获证. 【解答】 例2 (1)如图1-1-3①,在正方形 ABCD 中,点 E 是BC 边上的任意一点, ，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F.求证:AE=EF. (2)若把(1)中的条件“点 E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是 BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论 AE=EF是否还成立? 若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 【提示】连接AC,AF,显然∠ACF=∠AEF=90°,所以A,E,C,F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①,当点E在BC 边上时,∠AFE=∠ACE=45°,于是△AEF 是等腰直角三角形,. 获证； (2)如图1-1-4②,当点E 在BC 边的延长线上时, 于是 是等腰直角三角形，AE=EF 获证. 【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”,“∠AEF=90°”相应改为“ ，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n边形， 仍然可延续这种思路，读者可自己完成. 【解答】 跟踪训练 将一副三角板(Rt△ABC和 Rt△DEF)如图1-1-5①摆放,点 E,A,D,B在一条直线上,且D 是AB 的中点.将Rt△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角。 在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，分别过点 M，N作直线AB 的垂线，垂足为G，H. (1)如图1-1-5②,当 时,求证:AG=DH; (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立? 请写出你的结论，并说明理由； (3)当 时，(1)中的结论是否成立? 请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由. 【提示】本题除了常规解法外，还可以考虑构造“辅助圆”. 【解答】 例3 在△ABC中，AB=AC，过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC 边于点P(点 P 不与点B,点 C重合), 的边MN 始终在直线a上(点M在点 N 的上方)，且BM=BN,连接CN. (1)当 时. ①如图 1-1-6①,当θ=45°时,∠ANC的度数为 ; ②如图1-1-6②,当( 时，①中的结论是否发生变化? 说明理由； (2)如图 1-1-6③,当. 时，请直接写出 与 之间的数量关系，不必证明. 【提示】由于在旋转过程中不变的关系是： 易知 由 可知A，B，N，C 四个点在同一个圆上(如图 则 这样思考，所有问题都会迎刃而解. 【解答】 跟踪训练 在△ABC中, ，M是AC 的中点，P 是线段BM上的动点，将线段 PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若 且点 P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线